Para cada par de números complexos dados, z_{1} e z_{2}, obtenha z_{1}+z_{2}, z_{1}-z_{2}, z_{1} . z_{2} e z_{1} / z_{2}.
z_{1}=3-2 i e z_{2}=1+i.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z_{1}=3-2i e z_{2}=1+i e pede as quatro operações básicas: soma, subtração, produto e quociente. Vamos usar as regras usuais de soma e subtração de partes real e imaginária, a fórmula
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
para o produto, e para a divisão multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z_{2} para racionalizar.

Passo 2

Para a soma, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias separadamente.
z_{1}+z_{2}=(3-2i)+(1+i)=(3+1)+(-2+1)i=4 - i.

Passo 3

Para a subtração, subtraímos parte a parte.
z_{1}-z_{2}=(3-2i)-(1+i)=(3-1)+(-2-1)i=2 - 3i.

Passo 4

Para o produto, aplicamos
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
com a=3, b=-2, c=1, d=1:
\Re: \;ac - bd = 3\cdot1 - (-2)\cdot1 = 3 + 2 = 5,
\Im: \;ad + bc = 3\cdot1 + (-2)\cdot1 = 3 - 2 = 1,
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z_{1}\cdot z_{2}=5 + i.

Passo 5

Para o quociente, racionalizamos dividindo por z_{2}=1+i. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1-i:
\text{numerador}=(3-2i)(1-i)=3 - 3i - 2i + 2i^{2}=3 -5i -2=1 -5i,
\text{denominador}=(1+i)(1-i)=1 - i^{2}=1 -(-1)=2.
Assim
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1-5i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i.

Resposta

z_{1}+z_{2}=4 - i
z_{1}-z_{2}=2 - 3i
z_{1}\cdot z_{2}=5 + i
\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}i

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