Exemplo 0.2 Dados z_{1}=1-3 i, z_{2}=3+1 e z_{3}=7 i, resolva as expressões:
\left(z_{1}\right)^{2} \cdot\left(z_{2}+z_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z_{1} = 1 - 3i,\quad z_{2} = 3 + i,\quad z_{3} = 7i
e pede para calcular
\bigl(z_{1}\bigr)^{2}\,\bigl(z_{2}+z_{3}\bigr).
O conteúdo envolve potenciação de número complexo, soma de complexos e multiplicação de complexos.

Passo 2

Vamos primeiro computar \bigl(z_{1}\bigr)^{2}. Se z_{1}=a+bi, temos
\bigl(a+bi\bigr)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2ab\,i.
Aqui a=1 e b=-3, logo
\bigl(z_{1}\bigr)^{2} = 1^{2} - (-3)^{2} + 2\cdot1\cdot(-3)\,i = 1 - 9 -6i = -8 - 6i.

Passo 3

Agora somamos z_{2} e z_{3}:
z_{2} + z_{3} = (3 + i) + (7i) = 3 + 8i.

Passo 4

Finalmente, multiplicamos os resultados:
(-8 - 6i)\,(3 + 8i).
Fazendo a distribuição,
(-8)\cdot3 + (-8)\cdot8i + (-6i)\cdot3 + (-6i)\cdot8i = -24 -64i -18i -48i^{2}.
Como i^{2}=-1, isso vira
-24 -82i -48(-1) = -24 -82i +48 = 24 - 82i.

Resposta

24 - 82i

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