Exemplo 0.2 Dados z_{1}=1-3 i, z_{2}=3+1 e z_{3}=7 i, resolva as expressões:
\frac{z_{1} \cdot \overline{z_{2}}}{z_{2}+z_{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{z_{1}\,\overline{z_{2}}}{z_{2}+z_{3}}
onde temos números complexos. Vamos usar as operações de conjugado, multiplicação, soma e divisão de complexos.

Passo 2

Calcular o conjugado de z_{2} e em seguida o produto no numerador.
Temos z_{2}=3+i, logo
\overline{z_{2}}=3 - i.
Agora o produto
z_{1}\,\overline{z_{2}}=(1-3i)(3 - i).
Usando (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,
(1-3i)(3 - i) = \bigl(1\cdot3 - (-3)\cdot(-1)\bigr) + \bigl(1\cdot(-1) + (-3)\cdot3\bigr)i = 0 -10i = -10i.

Passo 3

Calcular o denominador somando z_{2} e z_{3}:
z_{2}+z_{3} = (3+i) + 7i = 3 + 8i.

Passo 4

Dividir e racionalizar o denominador:
\frac{-10i}{3+8i} \;\times\;\frac{3-8i}{3-8i} = \frac{-10i\,(3-8i)}{3^{2}+8^{2}} = \frac{-30i +80i^{2}}{9+64} = \frac{-30i -80}{73} = -\frac{80}{73} \;-\;\frac{30}{73}\,i.

Resposta

-\frac{80}{73} \;-\;\frac{30}{73}\,i

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