Exercício 0.29 Escreva os racionais abaixo na forma fracionária.
0,45 \overline{57}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma fracionária o número decimal periódico 0,45\overline{57}. O conteúdo envolve representar decimais periódicos como frações, usando um truque algébrico para eliminar a parte repetida.

Passo 2

Seja x = 0,45\overline{57}. Aqui a parte não periódica tem dois algarismos (“45”) e a parte periódica também tem dois algarismos (“57”).

Passo 3

Multiplicamos por 10^2=100 e por 10^4=10000 para alinhar as repetições. Assim:
100x = 45,\overline{57}
10000x = 4557,\overline{57}
Subtraindo essas igualdades, a parte periódica se cancela:
10000x - 100x = 4557,\overline{57} - 45,\overline{57} = 4452
Logo
9900x = 4452
e
x = \frac{4452}{9900}.

Passo 4

Agora simplificamos \tfrac{4452}{9900}. Dividindo numerador e denominador por 12, obtemos
\frac{4452}{9900} = \frac{371}{825}.
Não há fatores comuns entre 371=7\cdot53 e 825=3\cdot5^2\cdot11, então esta é a forma irredutível.

Resposta

\frac{371}{825}

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