1. Para cada par de ponto e plano dado abaixo, determine a distância do ponto ao plano:
    (a) P(2,-3,4) e M: x+2 y+2 z=13
    (b) P(2,2,3) e M: 2 x+y+2 z=4
    © P(1,0,-1) e M:-4 x+z=4

Passo 1

Temos três pares ponto/plano e queremos a distância entre cada ponto e seu respectivo plano em R^3. O conteúdo é distância de ponto a plano, e para resolver precisamos da fórmula que envolve os coeficientes do plano na forma ax+by+cz+d=0 e as coordenadas do ponto.

Passo 2

A fórmula de distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano ax+by+cz+d=0 é dada por
D = l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2
Aqui a teoria é: projetamos o vetor posição do ponto sobre a normal do plano e tiramos o valor absoluto.

Passo 3

Para o item (a), o plano é
M: x + 2y + 2z = 13 Longrightarrow x + 2y + 2z - 13 = 0,
daí a=1, b=2, c=2, d=-13 e o ponto é (2,-3,4). Substituindo na fórmula:
numerador = |1cdot2 + 2cdot(-3) + 2cdot4 - 13| = |2 - 6 + 8 - 13| = | -9| = 9,
denominador = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = 3
Logo,
Da = 93 = 3

Passo 4

Para o item (b), o plano é
M: 2x + y + 2z = 4 Longrightarrow 2x + y + 2z - 4 = 0,
com a=2, b=1, c=2, d=-4 e o ponto (2,2,3). Calculando:
numerador = |2cdot2 + 1cdot2 + 2cdot3 - 4| = |4 + 2 + 6 - 4| = |8| = 8,
denominador = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = 3
Assim,
Db = 83

Passo 5

Para o item ©, o plano é
M: -4x + z = 4 Longrightarrow -4x + z - 4 = 0,
com a=-4, b=0, c=1, d=-4 e o ponto (1,0,-1). Fazendo as contas:
numerador = |-4cdot1 + 0cdot0 + 1cdot(-1) - 4| = |-4 + 0 - 1 - 4| = |-9| = 9,
denominador = raiz(-4)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz16 + 0 + 1 = raiz17
Logo,
Dc = 9raiz17

Resposta

Da = 3, Db = tfrac83, Dc = tfrac9raiz17.

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