Exercício 2 Sejam V e W espaços vetoriais com produtos internos lang<=cdot, cdotrang<=V elang<=cdot,rang<=W, respectivamente. Uma transformação linear T: V W é uma isometria se lang<= T u, T vrang<=V=lang<= u, vrang<=W para todo u, v in V. Mostre que se T é isometria então T é injetora.

Passo 1

A questão apresenta dois espaços vetoriais V e W, cada um com seu produto interno ( lang<=cdot,cdotrang<=V e lang<=cdot,cdotrang<=W) e uma transformação linear T:Vto W. O que a gente quer mostrar é que, se T preserva produto interno (ou seja, é isometria, satisfazendo lang<= Tu, Tvrang<=W=lang<= u,vrang<=V para todo u,v), então T é injetora (não manda vetores diferentes em um mesmo vetor).

Passo 2

Para provar injetividade, basta mostrar que o núcleo de T é só o vetor zero. Então pegamos um vetor vin V tal que T(v)=0 e vamos usar a isometria com u=v. Temos:
lang<= T v, T vrang<=W = lang<= v, vrang<=V
Como T(v)=0, o lado esquerdo fica
lang<= 0,0rang<=W = 0,
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lang<= v,vrang<=V = 0
Mas num produto interno vale que lang<= v,vrang<=V=0 só se v=0. Aí concluímos que o único vetor mandado para zero é o zero.

Passo 3

Como o núcleo de T é 0, isso significa exatamente que T é injetora.

Resposta

T é injetora.

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