Exercício 2 Sejam
e
espaços vetoriais com produtos internos
, respectivamente. Uma transformação linear
é uma isometria se
para todo
. Mostre que se
é isometria então
é injetora.
Passo 1
A questão apresenta dois espaços vetoriais V e W, cada um com seu produto interno (
e
) e uma transformação linear
. O que a gente quer mostrar é que, se
preserva produto interno (ou seja, é isometria, satisfazendo
para todo
), então
é injetora (não manda vetores diferentes em um mesmo vetor).
Passo 2
Para provar injetividade, basta mostrar que o núcleo de
é só o vetor zero. Então pegamos um vetor
tal que
e vamos usar a isometria com
. Temos:
Como
logo
Mas num produto interno vale que
Passo 3
Como o núcleo de
é
, isso significa exatamente que
é injetora.
Resposta
T é injetora.