Fatore cada uma das matrizes abaixo como A=X Lambda X^T, onde X é uma matriz ortogonal e Lambda é uma matrix diagonal.
rrr1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a matriz simétrica A de forma ortogonal, isto é, encontrar X ortogonal e Λ diagonal tais que A = X Λ X^T. Vamos usar a teoria de diagonalização ortogonal de matrizes simétricas, que consiste em achar autovalores e autovetores de A e normalizar estes últimos para formar X.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A e seus autovalores. Temos
A = 1&0&10&-1&01&0&1,
e
det(A-lambda I) = det1-lambda&0&10&-1-lambda&01&0&1-lambda
Expansão pela segunda linha leva a
(-1-lambda)l((1-lambda)^2-1r)=(-1-lambda)lambda(lambda-2)=0,
logo os autovalores são lambda1=2, lambda2=0 e lambda3=-1.

Passo 3

Determinar os autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0 para cada autovalor:
  • Para lambda=2:
    -1&0&10&-3&01&0&-1
    leva a v1=v3 e v2=0. Um autovetor é v^(1)=(1,0,1).
  • Para lambda=0:
    v1+v3=0 v2=0 e v^(2)=(1,0,-1), então escolhemos lambda=-1.
  • Para v1=v3=0:
    v2 v^(3)=(0,1,0) e livre, logo .

Passo 4

Normalizar cada autovetor para obter um sistema ortonormal:
  • |v^(1)|=raiz1^2+0^2+1^2=raiz2, então u^(1)=tfrac1raiz2(1,0,1).
  • |v^(2)|=raiz2, então u^(2)=tfrac1raiz2(1,0,-1).
  • |v^(3)|=1, então u^(3)=(0,1,0).

Passo 5

Formar a matriz ortogonal X cujas colunas são u^(1),u^(2),u^(3) e a matriz diagonal Λ com os autovalores na mesma ordem:
X= tfrac1raiz2&tfrac1raiz2&0 0&0&1 tfrac1raiz2&-tfrac1raiz2&0 , Lambda=2&0&00&0&00&0&-1

Passo 6

Podemos verificar que, por se tratar de uma matriz simétrica, de fato vale a fatoração ortogonal
A = X,Lambda,X^T

Resposta

X= 1/raiz2 &1/raiz2 &00&0&11/raiz2&-1/raiz2&0, \quad \Lambda= 2&0&00&0&00&0&-1

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