1. Encontre a equação de um plano que é perpendicular à reta
r:l x=5+t y=1+3 t z=4 t

Passo 1

A questão pede a equação de um plano perpendicular à reta dada. O conteúdo principal é equações de planos e a relação de perpendicularidade entre reta e plano. Vamos precisar extrair o vetor direção da reta e usar a condição de que esse vetor seja normal ao plano.

Passo 2

Da reta
x = 5 + t y = 1 + 3t z = 4t
vemos que o vetor direção é u = (1,3,4).

Passo 3

Sabendo que uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, seu vetor direção é normal ao plano, concluímos que o vetor normal n do plano deve ser
n = (1,3,4).

Passo 4

A forma geral de um plano com vetor normal (a,b,c) é
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Como não temos ponto fixo pelo qual o plano deva passar, podemos usar a forma geral sem referência a um ponto específico:

Passo 5

Isso nos dá a família de planos cujos coeficientes coincidindo com (1,3,4) é dada por
1cdot x + 3cdot y + 4cdot z + D = 0,
onde D é uma constante real arbitrária.

Resposta

Qualquer plano da forma x + 3y + 4z + D = 0, com D in R, é perpendicular à reta dada.

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