Encontre a equação de um plano que é perpendicular à reta
Passo 1
A questão pede a equação de um plano perpendicular à reta dada. O conteúdo principal é equações de planos e a relação de perpendicularidade entre reta e plano. Vamos precisar extrair o vetor direção da reta e usar a condição de que esse vetor seja normal ao plano.
Passo 2
Da reta
x = 5 + t y = 1 + 3t z = 4t
vemos que o vetor direção é u = (1,3,4).
Passo 3
Sabendo que uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, seu vetor direção é normal ao plano, concluímos que o vetor normal n do plano deve ser n = (1,3,4).
Passo 4
A forma geral de um plano com vetor normal (a,b,c) é
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Como não temos ponto fixo pelo qual o plano deva passar, podemos usar a forma geral sem referência a um ponto específico:
Passo 5
Isso nos dá a família de planos cujos coeficientes coincidindo com (1,3,4) é dada por
1cdot x + 3cdot y + 4cdot z + D = 0,
onde D é uma constante real arbitrária.
Resposta
Qualquer plano da forma x + 3y + 4z + D = 0, com D in R, é perpendicular à reta dada.