Fatore cada uma das matrizes abaixo como A=X Lambda X^T, onde X é uma matriz ortogonal e Lambda é uma matrix diagonal.
rrr7 & -2 & -2 -2 & 1 & 4 -2 & 4 & 1

Passo 1

O exercício pede para escrever a matriz simétrica A na forma espectral A = X Λ X^T usando o teorema espectral: conteúdo principal é autovalores e autovetores de matrizes simétricas e vamos precisar montar uma base ortonormal de R^3.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico det(A – λI) = 0. Calculando det 7-λ & -2 & -2 -2 & 1-λ & 4 -2 & 4 & 1-λ chegamos a (9-λ)(3-λ)(-3-λ)=0. Logo os autovalores são λ1=9, λ2=3 e λ3=-3.

Passo 3

Para λ1=9, resolvemos (A-9I)x=0, que reduz a x+y+z=0 e x=−2y, z=y. Um autovetor é (-2,1,1). Normalizando: v1=1raiz6(-2,1,1).

Passo 4

Para λ2=3, resolvemos (A-3I)x=0, que dá y=x e z=x. Um autovetor é (1,1,1). Normalizando: v2=1raiz3(1,1,1).

Passo 5

Para λ3=-3, resolvemos (A+3I)x=0, que dá x=0 e z=-y. Um autovetor é (0,1,-1). Normalizando: v3=1raiz2(0,1,-1).

Passo 6

Como os vetores v1,v2,v3 são ortonormais, montamos X=[v1;v2;v3] e Lambda=diag(9,3,-3), de modo que A=XLambda X^T.

Resposta

X= -2/raiz6 & 1/raiz3 & 0 1/raiz6 & 1/raiz3 & 1/raiz2 1/raiz6 & 1/raiz3 & -1/raiz2,\quad \Lambda= 9&0&00&3&00&0&-3

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