Para que valores de x as funções são contínuas?
h(x)=pi-xraiz1+cos x

Passo 1

O enunciado pede para determinar em quais pontos x a função
h(x)=pi - xraiz1+cos x
é contínua. O conteúdo principal aqui é de funções compostas e quocientes: sabemos que, em geral, uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, isto é, onde ela está bem definida.

Passo 2

Para que h(x) esteja bem definida, o denominador raiz1+cos x precisa satisfazer duas condições:
  1. O radicando deve ser não negativo:
1+cos x >= 0
  1. O denominador não pode ser zero:
raiz1+cos xneq 0 Longrightarrow 1+cos x neq 0

Passo 3

Analisando cada condição:
  • A desigualdade 1+cos x >= 0 equivale a cos x >= -1, o que é sempre verdadeiro para todo xinR (já que cos xin[-1,1]).
  • A condição 1+cos x neq 0 exige cos x neq -1. Sabemos que
cos x = -1 Long<=ftrightarrow x = (2k+1)pi, kinZ

Passo 4

Portanto, o domínio de h (e onde ela é contínua) é todo R excluindo os pontos onde cos x=-1. Como numerador e denominador (fora desses pontos) são funções contínuas e o denominador não se anula, h é contínua exatamente nesses valores de x.

Resposta

A função h é contínua em todos os x tais que
x neq (2k+1)pi, kinZ

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