Seja x1(t)=-de<a(t+1)+2 de<a(t)-de<a(t-1) e x2(t)=integral-infty^t x1(tau) d tau.
Esboce a convolução x1(t) * x2(t).

Passo 1

O enunciado dá
x1(t) = -de<a(t+1) + 2,de<a(t) - de<a(t-1)
e define
x2(t) = integral-infty^t x1(tau),dtau
O conteúdo aqui é usar a propriedade de integração de deltas (que gera funções degrau) e depois calcular a convolução
x(t)=x1*x2=integral-infty^inftyx1(tau),x2(t-tau),dtau

Passo 2

Primeiro encontramos x2(t). Como
integral-infty^tde<a(tau-a),dtau = u(t-a),
onde u(t) é o degrau unitário, temos
x2(t) = -u(t+1) + 2,u(t) - u(t-1)

Passo 3

Agora usamos a propriedade de que a convolução com deltas reduz a somar versões deslocadas de x2:
x(t) = (-1),x2(t+1) ;+; 2,x2(t);+;(-1),x2(t-1) = -x2(t+1) +2,x2(t) - x2(t-1)

Passo 4

Substituindo a expressão de x2:
x2(tpm k) = -u(tpm k +1) +2,u(tpm k) -u(tpm k -1)
Logo,
x(t) = -l(-u(t+2)+2u(t+1)-u(t)r) +2l(-u(t+1)+2u(t)-u(t-1)r) -l(-u(t)+2u(t-1)-u(t-2)r)

Passo 5

Agrupando termos de degrau, obtém-se
x(t) = u(t+2) -4,u(t+1) +6,u(t) -4,u(t-1) +u(t-2)

Passo 6

Determinar os trechos constantes de x(t) em função dos saltos de u(cdot). Para cada intervalo de comprimento 1:
  • Para t< -2: todos os u =0, logo x(t)=0.
  • Para -2<= t< -1: apenas u(t+2)=1, então x(t)=1.
  • Para -1<= t<0: u(t+2)=u(t+1)=1, assim x=1-4=-3.
  • Para 0<= t<1: u(t+2)=u(t+1)=u(t)=1, então x=1-4+6=3.
  • Para 1<= t<2: os quatro primeiros degraus são 1, dá x=1-4+6-4=-1.
  • Para t>=2: todos os cinco degraus são 1, x=1-4+6-4+1=0.

Resposta

A convolução
O esboço é um degrau em , depois em , em , em e zero fora desses.

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