Seja um sistema LIT com entrada e saída relacionadas por meio da equação abaixo, determine a resposta ao impulso h(t) para esse sistema.
y(t)=integral-infty^t e^(-t-tau) x(tau-2) d tau

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema lineal e invariante no tempo (LIT) cuja entrada x(t) e saída y(t) estão relacionadas por
y(t)=integral-infty^te^-,t-tau,x(tau-2),dtau
Queremos encontrar a resposta ao impulso h(t), ou seja, a saída quando a entrada é de<a(t).

Passo 2

Em sistemas LIT, a resposta ao impulso h(t) é definida como
h(t)=y(t)|x(t)=de<a(t)
Portanto, basta substituir x(t)=de<a(t) na expressão de y(t).

Passo 3

Substituindo x(t)=de<a(t) temos x(tau-2)=de<a(tau-2). Assim
h(t)=integral-infty^te^-,t-tau,de<a(tau-2),dtau
Pela propriedade do delta de Dirac, essa integral “pica” o valor de tau=2, desde que 2 esteja no intervalo de integração (-infty,t].

Passo 4

Para t<2 o ponto tau=2 não pertence a (-infty,t], logo a integral vale zero. Para t>=2 a integral avalia
h(t)=e^-,t-2
Para incorporar ambas as condições usamos a função degrau deslocada u(t-2).

Passo 5

Combinando os casos, obtemos
h(t)=e^-,t-2,u(t-2)

Resposta

h(t)=e^-,t-2,u(t-2)

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