Para cada um dos pares de inteiros (a, m) abaixo, decida se a é invertível módulo m e, em caso afirmativo, determine um inverso para a.
(a, m)=(3,7) ;(9,21) ;(6,13) ;(9,19) ;(20,23)

Passo 1

O enunciado pede para cada par de inteiros (a,m) decidir se a é invertível módulo m e, em caso afirmativo, encontrar um inteiro x tal que
a,xequiv1pmod m
O conteúdo envolve o critério de invertibilidade baseado no máximo divisor comum e o uso, quando necessário, do algoritmo de Euclides estendido ou observações modulares para achar o inverso.

Passo 2

Critério de invertibilidade: um inteiro a é invertível módulo m se e somente se
gcd(a,m)=1
Se este gcd for 1, então existe um inverso e podemos encontrá-lo resolvendo a,xequiv1pmod m.

Passo 3

Para (a,m)=(3,7):
gcd(3,7)=1, logo 3 é invertível módulo 7.
Procuramos x tal que
3xequiv1pmod7
Testando, 3cdot5=15equiv1pmod7.
Então um inverso é x=5.

Passo 4

Para (a,m)=(9,21):
gcd(9,21)=3neq1.
Como o gcd não é 1, 9 não é invertível módulo 21.

Passo 5

Para (a,m)=(6,13):
gcd(6,13)=1, logo 6 é invertível módulo 13.
Resolvendo
6xequiv1pmod13,
veja que 6cdot11=66equiv1pmod13.
Portanto o inverso é x=11.

Passo 6

Para (a,m)=(9,19):
gcd(9,19)=1, logo 9 é invertível módulo 19.
Precisamos de
9xequiv1pmod19
Como 9cdot17=153 e 153-19cdot8=1, temos 153equiv1pmod19.
Logo o inverso é x=17.

Passo 7

Para (a,m)=(20,23):
gcd(20,23)=1, logo 20 é invertível módulo 23.
Note que 20equiv-3pmod23. Buscamos y tal que
-3,yequiv1pmod23
Como (-3)cdot(-8)=24equiv1pmod23, segue y=-8equiv15pmod23.
Portanto o inverso de 20 é x=15.

Resposta

(3,7): invertível, inverso 5
(9,21): não invertível
(6,13): invertível, inverso 11
(9,19): invertível, inverso 17
(20,23): invertível, inverso 15

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