Para cada um dos pares de inteiros
abaixo, decida se
é invertível módulo
e, em caso afirmativo, determine um inverso para
.
Passo 1
O enunciado pede para cada par de inteiros
decidir se
é invertível módulo
e, em caso afirmativo, encontrar um inteiro
tal que
O conteúdo envolve o critério de invertibilidade baseado no máximo divisor comum e o uso, quando necessário, do algoritmo de Euclides estendido ou observações modulares para achar o inverso.
Passo 2
Critério de invertibilidade: um inteiro
é invertível módulo
se e somente se
Se este gcd for
, então existe um inverso e podemos encontrá-lo resolvendo
.
Passo 3
Para
:
, logo
é invertível módulo
.
Procuramos tal que
Procuramos
Testando,
.
Então um inverso é .
Então um inverso é
Passo 4
Para
:
.
Como o gcd não é ,
não é invertível módulo
.
Como o gcd não é
Passo 5
Para
:
, logo
é invertível módulo
.
Resolvendo
Resolvendo
veja que
.
Portanto o inverso é .
Portanto o inverso é
Passo 6
Para
:
, logo
é invertível módulo
.
Precisamos de
Precisamos de
Como
e
, temos
.
Logo o inverso é .
Logo o inverso é
Passo 7
Para
:
, logo
é invertível módulo
.
Note que . Buscamos
tal que
Note que
Como
, segue
.
Portanto o inverso de é
.
Portanto o inverso de
Resposta
(3,7): invertível, inverso
(9,21): não invertível
(6,13): invertível, inverso
(9,19): invertível, inverso
(20,23): invertível, inverso
(9,21): não invertível
(6,13): invertível, inverso
(9,19): invertível, inverso
(20,23): invertível, inverso