Determine o resto da divisão do número 17^8 por 2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Passo 1

O enunciado pede que determinem os restos de ,17^8, quando dividido por 2,,3,,4,,5,,6,,7,,8 e 9. O conteúdo envolve congruências e o Teorema de Euler–Fermat para simplificar potências em aritmética modular.

Passo 2

Observação: se
17equiv1pmodd,
então
17^8equiv1^8equiv1pmodd
Como 17=16+1, para din2,4,8 temos 17equiv1pmodd e logo o resto da divisão por cada um desses d é 1.

Passo 3

Agora para din3,6 notamos que varphi(3)=2 e varphi(6)=2, então qualquer número coprimo a 3 ou a 6 satisfaz a^2equiv1pmodd. Especificamente,
17equiv2pmod3, 17equiv5pmod6,
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17^8=(17^2)^4equiv2^8=(2^2)^4equiv1^4=1pmod3,
17^8=(17^2)^4equiv5^8=(5^2)^4equiv1^4=1pmod6

Passo 4

Para din5,9 usamos varphi(5)=4 e varphi(9)=6. Temos
17equiv2pmod5, 17equiv8pmod9
Como 8equiv0pmod4 e 8equiv2pmod6,
2^8=(2^4)^2equiv1^2=1pmod5,
8^8=(8^6)cdot8^2equiv1cdot8^2=64equiv1pmod9

Passo 5

Por fim, para d=7 usamos o Teorema de Fermat, pois varphi(7)=6. Como
17equiv3pmod7,
temos
3^8=3^6+2=3^6cdot3^2equiv1cdot9equiv2pmod7

Resposta

Para n=2, resto 1.
Para n=3, resto 1.
Para n=4, resto 1.
Para n=5, resto 1.
Para n=6, resto 1.
Para n=7, resto 2.
Para n=8, resto 1.
Para n=9, resto 1.

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