Seja A, B inteiros positivos tais que A é invertível módulo B e seja A0 um inverso para A.
(c) Seja p>2 um número primo. Mostre que 2 é invertível módulo p e determine um inverso para 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, sendo p>2 primo, o elemento 2 é invertível em Z/pZ e para encontrarmos explicitamente um inverso para 2 nesse anel. Vamos usar o fato de que um elemento é invertível se, e somente se, for coprimo ao módulo, e em seguida resolver a congruência
2x equiv 1 pmodp

Passo 2

Como p>2 é primo, segue que p é ímpar, logo gcd(2,p)=1. Assim, existe um inverso de 2 módulo p. Além disso, por p ser ímpar, o número p+1 é par, de modo que
x = p+12
é inteiro. Verifiquemos que esse x satisfaz a congruência:
2x = 2cdotp+12 = p + 1 equiv 1 pmodp
Portanto, x é o inverso multiplicativo de 2 em Z/pZ.

Resposta

O inverso de 2 módulo p é
p+12

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