Seja
inteiros positivos tais que
é invertível módulo
e seja
um inverso para
.
(c) Seja
um número primo. Mostre que 2 é invertível módulo
e determine um inverso para 2.
(c) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, sendo
primo, o elemento
é invertível em
e para encontrarmos explicitamente um inverso para
nesse anel. Vamos usar o fato de que um elemento é invertível se, e somente se, for coprimo ao módulo, e em seguida resolver a congruência
Passo 2
Como
é primo, segue que
é ímpar, logo
. Assim, existe um inverso de
módulo
. Além disso, por
ser ímpar, o número
é par, de modo que
é inteiro. Verifiquemos que esse
satisfaz a congruência:
Portanto,
é o inverso multiplicativo de
em
.
Resposta
O inverso de
módulo
é