Em cada parte, calcule a potência indicada de
A^1.000
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo
O conteúdo aqui é potência de matriz triangular superior. Vamos usar a decomposição em parte diagonal e parte nilpotente para simplificar.
Passo 2
Escrevemos
onde
D é a parte diagonal de
A e
N é a parte estritamente superior:
Passo 3
Note que
D e
N comutam (porque
D é diagonal) e que
já que
N é nilpotente de ordem 2 (todos os produtos possíveis de duas entradas estritamente acima da diagonal caem em zero).
Passo 4
Pela fórmula do binômio para matrizes que comutam e usando
N^2=0 , temos para
k=1000 :
Passo 5
Primeiro, as potências de
D são fáceis pois é diagonal:
Em seguida,
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