Em cada parte, calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
A^1.000

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A^1000
sendo
A = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo aqui é potência de matriz triangular superior. Vamos usar a decomposição em parte diagonal e parte nilpotente para simplificar.

Passo 2

Escrevemos
A = D + N,
onde D é a parte diagonal de A e N é a parte estritamente superior:
D = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N = 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Note que D e N comutam (porque D é diagonal) e que
N^2 = 0
já que N é nilpotente de ordem 2 (todos os produtos possíveis de duas entradas estritamente acima da diagonal caem em zero).

Passo 4

Pela fórmula do binômio para matrizes que comutam e usando N^2=0, temos para k=1000:
A^k = (D+N)^k = D^k + k,D^,k-1N

Passo 5

Primeiro, as potências de D são fáceis pois é diagonal:
D^1000 = 1^1000 & 0 & 0 0 & (-1)^1000 & 0 0 & 0 & (-1)^1000 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Em seguida,
1000,D^999N =1000 1^999 & 0 & 0 0 & (-1)^999 & 0 0 & 0 & (-1)^999 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 =1000 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Logo,
A^1000 = D^1000 + 1000,D^999N = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 0 & -2000 & 8000 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

A^1000 = 1 & -2000 & 8000 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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