Em cada parte, calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
A^100

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência A^100 da matriz triangular superior
A = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo envolvido é o cálculo de potências de matrizes triangulares e a identificação de quando uma matriz se comporta como involução (isto é, quando A^2=I).

Passo 2

Vamos verificar o quadrado da matriz, pois se encontrarmos que A^2=I, então
A^100 = l(A^2r)^50 = I^50 = I

Passo 3

Calculemos A^2 = A cdot A. Como A é triangular, basta multiplicar diretamente:
A^2 = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 = 1cdot1 + (-2)cdot0 + 8cdot0 & 1cdot(-2)+(-2)cdot(-1)+8cdot0 & 1cdot8+(-2)cdot0+8cdot(-1)[6pt] 0 & (-1)cdot(-1) & 0[2pt] 0 & 0 & (-1)cdot(-1) = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I ]

Passo 4

Como A^2 = I, segue que
A^100 = l(A^2r)^50 = I^50 = I

Resposta

A^100 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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