Use o método do Exemplo 5 para calcular A^11, sendo
A=[rrr -1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2 ]

Passo 1

O exercício pede para calcular ,A^11 para
A = -1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2
usando o método de diagonalização (Exemplo 5). A ideia é achar uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que
A = P,D,P^-1,
assim teremos
A^11 = P,D^11,P^-1
Para isso precisamos: 1) obter os autovalores de A; 2) encontrar autovetores; 3) montar P e calcular P^-1; 4) elevar D à 11ª potência e recompor A^11.

Passo 2

Calcule o polinômio característico de A. Como A é triangular por blocos, os autovalores estão na diagonal:
chiA(lambda) = (lambda+1)(lambda-1)(lambda+2)
Logo os autovalores são
lambda1=-1,
lambda2=1 e
lambda3=-2.

Passo 3

Encontre um autovetor para cada autovalor:
  1. Para lambda1=-1, resolva (A+I)v=0:
    (A+I)=0&7&-10&2&00&15&-1
    leva a y=0, z=0 e x livre. Podemos escolher
    ,v1=(1,0,0)^T
  2. Para lambda2=1, resolva (A-I)v=0:
    (A-I)=-2&7&-10&0&00&15&-3
    obtém-se x=y e z=5y. Escolhendo y=1,
    ,v2=(1,1,5)^T
  3. Para lambda3=-2, resolva (A+2I)v=0:
    (A+2I)=1&7&-10&3&00&15&0
    y=0, z=x. Escolhendo x=1,
    ,v3=(1,0,1)^T

Passo 4

Forme
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 5 & 1
Como det P=1, o inverso é
P^-1 = 1 & 4 & -1 0 & 1 & 0 0 & -5 & 1
Verificam-se P,P^-1=I.

Passo 5

A matriz diagonal D tem as entradas dos autovalores, então
D = -1&0&00&1&00&0&-2,
e
D^11 = (-1)^11 & 0 & 0 0 & 1^11 & 0 0 & 0 &(-2)^11 = -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2048

Passo 6

Agora
A^11 = P,D^11,P^-1
Primeiro calcule P,D^11, que escala cada coluna de P pelo autovalor correspondente, e depois multiplique pelo P^-1 encontrado. O resultado é
A^11 = -1 & 10237 & -2047 0 & 1 & 0 0 & 10245 & -2048

Resposta

A^11 = -1 & 10237 & -2047 0 & 1 & 0 0 & 10245 & -2048

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