Use o método do Exemplo 5 para calcular
, sendo
Passo 1
O exercício pede para calcular
,A^11 para
usando o método de diagonalização (Exemplo 5). A ideia é achar uma matriz invertível
P e uma diagonal
D tais que
assim teremos
Para isso precisamos: 1) obter os autovalores de
A ; 2) encontrar autovetores; 3) montar
P e calcular
P^-1 ; 4) elevar
D à 11ª potência e recompor
A^11 .
Passo 2
Calcule o polinômio característico de
A . Como
A é triangular por blocos, os autovalores estão na diagonal:
Logo os autovalores são
lambda1=-1 ,
lambda2=1 e
lambda3=-2 .
Passo 3
Encontre um autovetor para cada autovalor:
-
Para
, resolvalambda1=-1 :(A+I)v=0 (A+I)=0&7&-10&2&00&15&-1 leva a ,y=0 ez=0 livre. Podemos escolherx
,v1=(1,0,0)^T -
Para
, resolvalambda2=1 :(A-I)v=0 (A-I)=-2&7&-10&0&00&15&-3 obtém-se ex=y . Escolhendoz=5y ,y=1
,v2=(1,1,5)^T -
Para
, resolvalambda3=-2 :(A+2I)v=0 (A+2I)=1&7&-10&3&00&15&0 dá ,y=0 . Escolhendoz=x ,x=1
,v3=(1,0,1)^T
Passo 4
Forme
Como
det P=1 , o inverso é
Verificam-se
P,P^-1=I .
Passo 5
A matriz diagonal
D tem as entradas dos autovalores, então
e
Passo 6
Agora
Primeiro calcule
P,D^11 , que escala cada coluna de
P pelo autovalor correspondente, e depois multiplique pelo
P^-1 encontrado. O resultado é