Para os valor(es) de k, se houver, o sistema terá (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) infinitas soluções?
(a) lk x+2 y=3 2 x-4 y=-6
(b) lx+k y=1 k x+y=1
(c) lx-2 y+3 z=2 x+y+z=k 2 x-y+4 z=k^2
(d) lx+y+k z=1 x+k y+z=1 k x+y+z=-2

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve sistemas de equações lineares. O objetivo é determinar para quais valores de k cada sistema terá:
a) nenhuma solução,
b) uma única solução, ou
c) infinitas soluções.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a análise do determinante e o método de eliminação de Gauss para ver como as equações se relacionam.

Passo 2

Parte (a)

Temos o sistema:
l k x + 2 y = 3 2 x - 4 y = -6
Vamos encontrar o valor de k que determina o número de soluções.

Passo 3

Primeiro, escrevemos as equações em forma matricial:
k x + 2 y = 3 (Equação 1) 2 x - 4 y = -6 (Equação 2) çãçã
Para verificar se o sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas, podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 4

A matriz dos coeficientes é:
A = k & 2 2 & -4
O determinante de A é dado por:
det(A) = (k)(-4) - (2)(2) = -4k - 4

Passo 5

Analisamos o determinante:
  • Se det(A) neq 0 , o sistema tem uma única solução.
  • Se det(A) = 0 , precisamos verificar se as equações são dependentes (infinitas soluções) ou inconsistentes (nenhuma solução).
Então, resolvemos det(A) = 0 :
-4k - 4 = 0 implies -4k = 4 implies k = -1

Passo 6

Para k neq -1 , o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma única solução.
Para k = -1 , substituímos na Equação 1:
-1 cdot x + 2 y = 3 implies -x + 2y = 3 (Equação 1') çã
E na Equação 2:
2x - 4y = -6
Podemos notar que a Equação 2 é equivalente a:
2x - 4y = -6 implies x - 2y = -3 (dividindo ambos os lados por 2)
Comparando com a Equação 1’:
-x + 2y = 3 implies x - 2y = -3
As duas equações são iguais, indicando que há infinitas soluções.

Resposta

Parte (a):
  • Para k neq -1 , o sistema possui uma única solução.
  • Para k = -1 , o sistema possui infinitas soluções.
  • Não há valor de k que faça o sistema não ter solução.

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