Em cada parte, calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
A^231

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de A^231, onde
A = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo é potência de matriz triangular, e vamos usar a decomposição A=D+N, com D diagonal e N nilpotente.

Passo 2

Definimos
D = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N = A - D = 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Note que N é estritamente triangular superior e satisfaz N^2=0.

Passo 3

Como D e N comutam e N^2=0, vale a fórmula do binômio de Newton para matrizes:
A^n = (D+N)^n = D^n + n,D^n-1N

Passo 4

Calculamos as potências de :

Passo 5

Multiplicamos n,D^n-1N com n=231:
231,D^230N = 231 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & -462 & 1848 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

Somando os termos:

Resposta

A^231 = 1 & -462 & 1848 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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