Em cada parte, calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
A^-209

Passo 1

O enunciado pede A^-209 para
A= 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Como A é triangular superior, podemos escrever A=D+N, onde D é a parte diagonal e N a parte estritamente triangular. Vamos usar a expansão binomial para potências inteiras, lembrando que N é nilpotente de ordem 2 ( N^2=0).

Passo 2

Identificamos
D= 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N=A-D= 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
e verificamos N^2=0. Para qualquer inteiro k, vale
A^k = (D+N)^k =sumi=0^inftybinomkiD^,k-iN^i =D^k + k,D^,k-1N,
pois todos os termos com i>=2 anulam.

Passo 3

Agora tomamos . Calculamos
Então

Passo 4

Como
N= 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
temos
-209,N = 0 & -209cdot(-2) & -209cdot8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & 418 & -1672 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Somando com obtemos

Resposta

A^-209 = 1 & 418 & -1672 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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