Em cada parte, calcule a potência indicada de A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ] A^-209 Passo 1O enunciado pede A^-209 para A= 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 Como A é triangular superior, podemos escrever A=D+N, onde D é a parte diagonal e N a parte estritamente triangular. Vamos usar a expansão binomial para potências inteiras, lembrando que N é nilpotente de ordem 2 ( N^2=0). Passo 2Identificamos D= 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N=A-D= 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , e verificamos N^2=0. Para qualquer inteiro k, vale A^k = (D+N)^k =sumi=0^inftybinomkiD^,k-iN^i =D^k + k,D^,k-1N, pois todos os termos com i>=2 anulam. Passo 3Agora tomamos . Calculamos Então Passo 4Como N= 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , temos -209,N = 0 & -209cdot(-2) & -209cdot8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & 418 & -1672 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 Passo 5Somando com obtemos Resposta A^-209 = 1 & 418 & -1672 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcular os seguintes produtos [cccos theta & sin theta -sin theta & cos theta][cccos theta & -sin theta sin theta & cos theta] Em cada parte, calcule a potência indicada de A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ] A^231 Se A, B in Mn(F), vale A B=B A? Mostre ou dê contra-exemplo. Sejam A=[cc3 & 0 -1 & 5], B=[ccc4 & -2 & 1 0 & 2 & 3], C=[ll1 & 2 3 & 4 5 & 6], D=[cc0 & -3 -2 & 1], E=[ll4 & 2], F=[c-1 2] Calcule a matriz indicada (se possível): 3 D-2 A