Em cada parte, calcule a potência indicada de
A=[rrr 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]
(d) A^-2301

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz triangular superior
A = 1 & -2 & 8 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
e pede A^-2301. O conteúdo aqui é potências de matrizes triangulares, usando decomposição em parte diagonal D e parte nilpotente N.

Passo 2

Decompondo A em
D = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , N = A - D = 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
vemos que N^2 = 0 (porque toda segunda potencia anula os únicos elementos não nulos).

Passo 3

Como D e N comutam e N^2=0, pelo binômio de Newton em matrizes
A^k = (D+N)^k = D^k + k,D^,k-1N

Passo 4

Para k=-2301 calculamos
D^-2301 = 1^-2301 & 0 & 0 0 & (-1)^-2301 & 0 0 & 0 & (-1)^-2301 = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
pois (-1)^-2301=(-1)^2301=-1. E
D^-2302 = 1 & 0 & 0 0 & (-1)^-2302 & 0 0 & 0 & (-1)^-2302 = I,
já que (-1)^-2302=(-1)^2302=1.

Passo 5

Substituindo em A^-2301 = D^-2301 + (-2301),D^-2302N obtemos
A^-2301 = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 -2301, 0 & -2 & 8 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 1 & 4602 & -18408 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

A^-2301 = 1 & 4602 & -18408 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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