Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaço (autovetores) das seguintes matrizes:
(h)
[rrrr0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = 0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1
determinar a equação característica, os autovalores e uma base para cada autoespaço. Vamos usar que A é bloco triangular, separar o bloco 3times3 e o elemento 1, e depois resolver sistemas lineares para os autovetores.

Passo 2

Como A é bloco triangular com o último autovalor aparente 1, temos
det(A - lambda I) = det!l(B - lambda I3r),l(1 - lambdar),
onde
B = 0 & 0 & 2 1 & 0 & 1 0 & 1 & -2
Calculamos
det!l(B - lambda I3r) = det -lambda & 0 & 2 1 & -lambda & 1 0 & 1 & -2-lambda = -lambda^3 -2lambda^2 +lambda +2
Logo a equação característica é
det(A-lambda I)=l(-lambda^3 -2lambda^2 +lambda +2r),(1-lambda)=0

Passo 3

Expandindo e fatorando
det(A-lambda I)=lambda^4 + lambda^3 -3lambda^2 -lambda +2 =(lambda-1)^2(lambda+2)(lambda+1)
Portanto os autovalores são
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = -2, lambda3 = -1 é

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A-I)x=0:
(A-I)= -1&0&2&0 1&-1&1&0 0&1&-3&0 0&0&0&0 , x=(x1,x2,x3,x4)
As equações dão x1=2x3, x2=3x3 e x4 livre. Logo
x = x3,(2,3,1,0)+x4,(0,0,0,1)
Uma base do autoespaço lambda=1 é
(2,3,1,0),,(0,0,0,1)

Passo 5

Para lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0:
(A+2I)= 2&0&2&0 1&2&1&0 0&1&0&0 0&0&0&3
Da última linha vem x4=0, da terceira x2=0, e as outras dão x1=-x3. Assim
x = x3,(-1,0,1,0)
Uma base do autoespaço lambda=-2 é (-1,0,1,0)

Passo 6

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)x=0:
(A+I)= 1&0&2&0 1&1&1&0 0&1&-1&0 0&0&0&2
Da última linha x4=0, da terceira x2=x3, da segunda x1=-2x3. Logo
x = x3,(-2,1,1,0)
Uma base do autoespaço lambda=-1 é (-2,1,1,0)

Resposta

Equação característica:
det(A-lambda I)=(lambda-1)^2(lambda+2)(lambda+1)=0
Autovalores e bases de autoespaços:
lambda=1:& base (2,3,1,0),,(0,0,0,1), lambda=-2:& base (-1,0,1,0), lambda=-1:& base (-2,1,1,0)

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