Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaço (autovetores) das seguintes matrizes:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para a matriz
determinar a equação característica, os autovalores e uma base para cada autoespaço. Vamos usar que
A é bloco triangular, separar o bloco
3times3 e o elemento
1 , e depois resolver sistemas lineares para os autovetores.
Passo 2
Como
A é bloco triangular com o último autovalor aparente
1 , temos
onde
Calculamos
Logo a equação característica é
Passo 3
Expandindo e fatorando
Portanto os autovalores são
Passo 4
Para
lambda=1 resolvemos
(A-I)x=0 :
As equações dão
x1=2x3 ,
x2=3x3 e
x4 livre. Logo
Uma base do autoespaço
lambda=1 é
(2,3,1,0),,(0,0,0,1)
Passo 5
Para
lambda=-2 resolvemos
(A+2I)x=0 :
Da última linha vem
x4=0 , da terceira
x2=0 , e as outras dão
x1=-x3 . Assim
Uma base do autoespaço
lambda=-2 é
(-1,0,1,0)
Passo 6
Para
lambda=-1 resolvemos
(A+I)x=0 :
Da última linha
x4=0 , da terceira
x2=x3 , da segunda
x1=-2x3 . Logo
Uma base do autoespaço
lambda=-1 é
(-2,1,1,0)
Resposta
Equação característica:
Autovalores e bases de autoespaços: