Dentre o conjunto (1,2,0),(-2,-4,0),(3,1,0),(2,3,0),(0,0,1),(3,2,1), extraia uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para extrair uma base de R^3 a partir do conjunto
(1,2,0),,(-2,-4,0),,(3,1,0),,(2,3,0),,(0,0,1),,(3,2,1)
Como dim(R^3)=3, precisamos escolher três vetores desse conjunto que sejam linearmente independentes e, então, formarão nossa base.

Passo 2

Repare que os cinco primeiros vetores têm terceira componente zero, ou seja, estão contidos no plano z=0. Para gerar toda R^3 precisamos de pelo menos um vetor cuja componente z seja não nula. O candidato óbvio é
v3 = (0,0,1)

Passo 3

Agora precisamos de dois vetores independentes dentro do subespaço z=0. Começamos escolhendo
v1 = (1,2,0)
Descartamos (-2,-4,0) pois é múltiplo de v1. Escolhemos então um outro que não seja múltiplo de v1, por exemplo
v2 = (3,1,0)
Verificamos que não existe lambda tal que (3,1,0)=lambda(1,2,0), logo v1 e v2 são independentes em z=0.

Passo 4

Para garantir que v1,v2,v3 é base de R^3, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
det 1 & 3 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = (1cdot1 - 2cdot3)cdot1 = -5 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e geram todo R^3.

Resposta

Uma base extraída do conjunto dado é
(1,2,0),,(3,1,0),,(0,0,1)

Exercícios relacionados