Determinar se a matriz dada é diagonalizável:
(c)
[ll2 & 0 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 1 & 2
é diagonalizável. O conteúdo necessário envolve encontrar os autovalores de A, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e comparar essas multiplicidades para decidir se existe uma base de autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det!2-lambda & 0 1 & 2-lambda = (2-lambda)^2
Logo, o único autovalor é lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Encontramos o espaço próprio associado a
então o sistema é
o que dá livre. Assim o espaço próprio é , de dimensão geométrica 1.

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), não existe base de R^2 composta apenas por autovetores de A. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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