Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaço (autovetores) das seguintes matrizes:
(e)
[rrr4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a equação característica, os autovalores e os autoespaços da matriz
A = [rrr 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 ]
Para isso vamos calcular det(A-lambda I), fatorar o polinômio característico, encontrar lambda e em seguida resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Formamos
A - lambda I = 4-lambda & 0 & 1 [6pt] -2 & 1-lambda & 0 [6pt] -2 & 0 & 1-lambda
e expandimos o determinante pela primeira linha:
det(A - lambda I) = (4-lambda)det1-lambda & 00 & 1-lambda +1det-2 & 1-lambda-2 & 0
Logo
det(A - lambda I) = (4-lambda)(1-lambda)^2 + l(-2cdot0 -(-2)(1-lambda)r) = (4-lambda)(1-lambda)^2 + 2(1-lambda) ]

Passo 3

Fatorando o polinômio obtido:
det(A - lambda I) = (1-lambda)l((1-lambda)(4-lambda)+2r) = -(lambda-1)(lambda^2-5lambda+6) = -(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
Assim a equação característica det(A-lambda I)=0
lambda = 1, lambda = 2, lambda = 3

Passo 4

Para resolvemos
As equações são
e ,
logo , e livre.
O autoespaço é

Passo 5

Para resolvemos
Dessa vez temos e ,
de onde , e livre.
O autoespaço é

Passo 6

Para resolvemos
As equações e dão
, e livre.
O autoespaço é

Resposta

Equação característica:
-(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)=0
Autovalores: lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3.
Bases dos autoespaços:
E1 = span(0,1,0), E2 = span(1,-2,-2), E3 = span(1,-1,-1)

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