Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaço (autovetores) das seguintes matrizes:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a equação característica, os autovalores e os autoespaços da matriz
Para isso vamos calcular
det(A-lambda I) , fatorar o polinômio característico, encontrar
lambda e em seguida resolver
(A-lambda I)v=0 .
Passo 2
Formamos
e expandimos o determinante pela primeira linha:
Logo
Passo 3
Fatorando o polinômio obtido:
Assim a equação característica
det(A-lambda I)=0 dá
Passo 4
Para
resolvemos
As equações são
e
,
logo ,
e
livre.
O autoespaço é
logo
O autoespaço é
Passo 5
Para
resolvemos
Dessa vez temos
e
,
de onde ,
e
livre.
O autoespaço é
de onde
O autoespaço é
Passo 6
Para
resolvemos
As equações
e
dão
,
e
livre.
O autoespaço é
O autoespaço é
Resposta
Equação característica:
Autovalores:
lambda1=1 ,
lambda2=2 ,
lambda3=3 .
Bases dos autoespaços:
Bases dos autoespaços: