Em cada parte, determine f^prime(x).
f(x)=x^3+5x^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de f(x)=x^3+5x^2. O conteúdo envolvido é derivadas de funções racionais, e vamos usar a simplificação da expressão seguida da regra do poder, que diz que a derivada de x^n é n x^n-1.

Passo 2

Primeiro, simplificamos f(x) dividindo cada termo do numerador por x^2. Temos:
x^3/x^2 = x e 5/x^2 = 5x^-2,
logo
f(x) = x + 5x^-2

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder em cada termo. Para x,
ddx(x)=1

Passo 4

Para 5x^-2, usamos ddx(x^n)=n x^n-1:
ddx(5x^-2) = 5 cdot (-2)x^-3 = -10x^-3

Passo 5

Por fim, somamos as derivadas de cada termo, obtendo
f'(x) = 1 - 10x^-3, que também podemos escrever na forma racional:
f'(x) = 1 - 10x^3

Resposta

f'(x) = 1 - 10x^3

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