Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
\begin{array}{r} 2 x_{1}-4 x_{2}-x_{3}=1 \\\ x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 3 x_{1}-5 x_{2}-3 x_{3}=1 \end{array}
(a) (3,1,1)
(b) (3,-1,1)
(c) (13,5,2)
(d) \left(\frac{13}{2}, \frac{5}{2}, 2\right)
(e) (17,7,5)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas (x_1,x_2,x_3) e pede para cada terno ordenado verificar se ele o satisfaz. O método é simples: para testar (a,b,c) basta substituir x_1=a, x_2=b, x_3=c em cada equação e checar se o lado esquerdo fica igual a 1.
2 x_1 - 4 x_2 - x_3 = 1
x_1 - 3 x_2 + x_3 = 1
3 x_1 - 5 x_2 - 3 x_3 = 1

Passo 2

Para (x_1,x_2,x_3) = (3,1,1):
2\cdot3 - 4\cdot1 - 1 = 6 - 4 - 1 = 1,\quad 3 - 3\cdot1 + 1 = 3 - 3 + 1 = 1,\quad 3\cdot3 - 5\cdot1 - 3\cdot1 = 9 - 5 - 3 = 1.
Todas as três equações dão 1, logo é solução.

Passo 3

Para (x_1,x_2,x_3) = (3,-1,1):
2\cdot3 - 4\cdot(-1) - 1 = 6 + 4 - 1 = 9 \neq 1.
Já falha na primeira equação, então não é solução.

Passo 4

Para (x_1,x_2,x_3) = (13,5,2):
2\cdot13 - 4\cdot5 - 2 = 26 - 20 - 2 = 4 \neq 1.
Falha na primeira equação, logo não é solução.

Passo 5

Para (x_1,x_2,x_3) = \bigl(\tfrac{13}{2},\tfrac{5}{2},2\bigr):
2\cdot\tfrac{13}{2} - 4\cdot\tfrac{5}{2} - 2 = 13 - 10 - 2 = 1,
\tfrac{13}{2} - 3\cdot\tfrac{5}{2} + 2 = \tfrac{13 - 15}{2} + 2 = -1 + 2 = 1,
3\cdot\tfrac{13}{2} - 5\cdot\tfrac{5}{2} - 3\cdot2 = \tfrac{39 - 25}{2} - 6 = 7 - 6 = 1.
Todas dão 1, logo é solução.

Passo 6

Para (x_1,x_2,x_3) = (17,7,5):
2\cdot17 - 4\cdot7 - 5 = 34 - 28 - 5 = 1,
17 - 3\cdot7 + 5 = 17 - 21 + 5 = 1,
3\cdot17 - 5\cdot7 - 3\cdot5 = 51 - 35 - 15 = 1.
Também satisfaz todas, então é solução.

Resposta

(a) Sim
(b) Não
(c) Não
(d) Sim
(e) Sim

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