Classifique os sistemas lineares em R , de 3 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema:
\left\{\begin{array}{c}5732 x+2134 y+2134 z=7866 \\\\ 2134 x+5732 y+2134 z=670 \\\\ 2134 x+2134 y+5732 z=11464\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para classificar em \mathbb{R} um sistema linear de três incógnitas e determinar seu conjunto-solução. O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares (classificação pelo determinante da matriz de coeficientes) e resolução de sistemas 3\times3, que podemos simplificar explorando simetrias na matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes d:
A = \begin{pmatrix} 5732 & 2134 & 2134\\\\ 2134 & 5732 & 2134\\\\ 2134 & 2134 & 5732 \end{pmatrix}, \quad d = \begin{pmatrix}7866\\\ 670\\\ 11464\end{pmatrix}.
Note que A tem a forma
A = (a-b)I + bJ,
onde a=5732, b=2134, I é a identidade 3\times3 e J é a matriz de todos uns. O determinante de A é
\det(A) = (a-b)^2\,(a+2b)
a-b = 5732-2134 = 3598, \quad a+2b = 5732 + 2\cdot2134 = 10000,
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\det(A) = 3598^2 \times 10000 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, o sistema é compatível determinado e tem solução única.

Passo 3

Para resolver A\,x=d, façamos x=(x,y,z)^T e defina
S = x+y+z.
Da forma A=(a-b)I+bJ segue
A\,x = (a-b)x + b\,Jx = (a-b)\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} + b\,S\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = d.
Isso gera três equações:
3598\,x + 2134\,S = 7866, \quad 3598\,y + 2134\,S = 670, \quad 3598\,z + 2134\,S = 11464.
Somando-as,
3598\,(x+y+z) + 3\cdot2134\,S = 7866+670+11464
3598\,S + 6402\,S = 20000 \quad\Longrightarrow\quad 10000\,S = 20000 \quad\Longrightarrow\quad S = 2.

Passo 4

Substituindo S=2 em cada equação:
3598\,x + 2134\cdot2 = 7866 \quad\Longrightarrow\quad 3598\,x = 7866 - 4268 = 3598 \quad\Longrightarrow\quad x = 1;
3598\,y + 4268 = 670 \quad\Longrightarrow\quad 3598\,y = 670 - 4268 = -3598 \quad\Longrightarrow\quad y = -1;
3598\,z + 4268 = 11464 \quad\Longrightarrow\quad 3598\,z = 11464 - 4268 = 7196 \quad\Longrightarrow\quad z = 2.

Resposta

O sistema é compatível determinado e a única solução é
\{(x,y,z)\} = \{(1,-1,2)\}.

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