Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
\begin{array}{r} x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=3 \\\\ 3 x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\\\ -x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=5 \end{array}
(a) \left(\frac{5}{7}, \frac{8}{7}, 1\right)
(b) \left(\frac{5}{7}, \frac{8}{7}, 0\right)
(c) (5,8,1)
(d) \left(\frac{5}{7}, \frac{10}{7}, \frac{2}{7}\right)
(e) \left(\frac{5}{7}, \frac{22}{7}, 2\right)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = 3,\\\\ 3 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1,\\\\ - x_{1} + 5 x_{2} - 5 x_{3} = 5, \end{cases}
e pede, para cada terno (x_{1},x_{2},x_{3}) dado, verificar se ao substituir nas três equações ele as satisfaz simultaneamente. Se todas as três igualdades se confirmam, o terno é solução; caso contrário, não é.

Passo 2

Para \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\bigl(\tfrac{5}{7},\tfrac{8}{7},1\bigr) substituímos em cada equação:
x_{1}+2x_{2}-2x_{3} = \frac{5}{7} + 2\cdot\frac{8}{7} - 2\cdot1 = \frac{5+16}{7} - 2 = 3 - 2 = 1 \neq 3,
logo já falha na primeira equação e não é solução.

Passo 3

Para \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\bigl(\tfrac{5}{7},\tfrac{8}{7},0\bigr) temos:
x_{1}+2x_{2}-2x_{3} = \frac{5}{7} + 2\cdot\frac{8}{7} - 0 = \frac{5+16}{7} = 3,
3x_{1}-x_{2}+x_{3} = 3\cdot\frac{5}{7} - \frac{8}{7} + 0 = \frac{15-8}{7} = 1,
-\,x_{1}+5x_{2}-5x_{3} = -\frac{5}{7} + 5\cdot\frac{8}{7} - 0 = \frac{-5+40}{7} = 5.
Todas as três igualdades conferem, então este terno é solução.

Passo 4

Para \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=(5,8,1) substituímos:
x_{1}+2x_{2}-2x_{3} = 5 + 2\cdot8 - 2\cdot1 = 5 +16 -2 = 19 \neq 3,
logo não satisfaz a primeira equação e não é solução.

Passo 5

Para \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\bigl(\tfrac{5}{7},\tfrac{10}{7},\tfrac{2}{7}\bigr) cálculo:
x_{1}+2x_{2}-2x_{3} = \frac{5}{7} + 2\cdot\frac{10}{7} - 2\cdot\frac{2}{7} = \frac{5 + 20 - 4}{7} = \frac{21}{7} = 3,
3x_{1}-x_{2}+x_{3} = 3\cdot\frac{5}{7} - \frac{10}{7} + \frac{2}{7} = \frac{15 -10 +2}{7} = \frac{7}{7} = 1,
-\,x_{1}+5x_{2}-5x_{3} = -\frac{5}{7} + 5\cdot\frac{10}{7} - 5\cdot\frac{2}{7} = \frac{-5 +50 -10}{7} = \frac{35}{7} = 5.
Surpreendentemente, todas conferem 3, 1 e 5; porém note que no cálculo da segunda equação o numerador foi 15-10+2=7, dando 1. Portanto este terno também satisfaz todas as três equações e é solução.

Passo 6

Para \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\bigl(\tfrac{5}{7},\tfrac{22}{7},2\bigr) temos:
x_{1}+2x_{2}-2x_{3} = \frac{5}{7} + 2\cdot\frac{22}{7} - 2\cdot2 = \frac{5 +44}{7} -4 = \frac{49}{7} -4 = 7 -4 = 3,
3x_{1}-x_{2}+x_{3} = 3\cdot\frac{5}{7} - \frac{22}{7} + 2 = \frac{15 -22}{7} + 2 = -\frac{7}{7} + 2 = -1 + 2 = 1,
-\,x_{1}+5x_{2}-5x_{3} = -\frac{5}{7} + 5\cdot\frac{22}{7} - 5\cdot2 = \frac{-5 +110}{7} -10 = \frac{105}{7} -10 = 15 -10 = 5.
Todas as igualdades conferem também, logo este terno é solução.

Resposta

(a) não
(b) sim
(c) não
(d) sim
(e) sim

Exercícios relacionados