Em cada parte, determine se os vetores dados geram R^3.
v1=(2,2,2), v2=(0,0,3), v3=(0,1,1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três vetores em R^3,
v1=(2,2,2), v2=(0,0,3) e v3=(0,1,1),
e queremos saber se eles geram R^3. O conteúdo aqui é espaço gerado (span) e independência linear; para três vetores em R^3, basta verificar se eles são linearmente independentes.

Passo 2

Critério de independência linear para três vetores em R^3: monte a matriz cujas colunas são esses vetores e calcule seu determinante. Se
det(A)neq 0, então os vetores são independentes e, como são três em R^3, formam uma base e geram todo o espaço.

Passo 3

Formando a matriz
A = 2 & 0 & 0 2 & 0 & 1 2 & 3 & 1
calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 2det!0 & 1 3 & 1 - 0 + 0 = 2l(0cdot1 - 1cdot3r) = -6

Passo 4

Como det(A) = -6 neq 0, os vetores são linearmente independentes. Logo, eles formam base de R^3 e geram todo o espaço.

Resposta

Sim, v1,v2,v3 geram R^3.

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