Em cada parte, expresse o vetor como uma combinação linear de p1=2+x+4 x^2, p^2=1-x+3 x^2 e p3=3+2 x+5 x^2.
6+11 x+6 x^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio 6 + 11x + 6x^2 como combinação linear dos vetores (polinômios)
p1 = 2 + x + 4x^2, p2 = 1 - x + 3x^2, p3 = 3 + 2x + 5x^2
Estamos em P2, o espaço dos polinômios de grau até 2, e vamos buscar escalares a,b,c tais que
6 + 11x + 6x^2 = a,p1 + b,p2 + c,p3

Passo 2

Escrevendo a combinação e agrupando termos semelhantes, temos
a(2 + x + 4x^2) + b(1 - x + 3x^2) + c(3 + 2x + 5x^2) = (2a + b + 3c) + (a - b + 2c),x + (4a + 3b + 5c),x^2
Igualando aos coeficientes de 6 + 11x + 6x^2, obtemos o sistema
2a + b + 3c = 6, a ;-; b + 2c = 11, 4a + 3b + 5c = 6

Passo 3

Para simplificar, somamos a primeira e a segunda equação:
(2a + b + 3c) + (a - b + 2c) = 6 + 11 Longrightarrow 3a + 5c = 17
E subtraímos a primeira da terceira:
(4a + 3b + 5c) - (2a + b + 3c) = 6 - 6 Longrightarrow 2a + 2b + 2c = 0 Longrightarrow a + b + c = 0
Agora usamos também a segunda equação original para ter só a e c:
de a - b + 2c = 11 e b = -a - c segue
a - (-a - c) + 2c = 11 Longrightarrow 2a + 3c = 11

Passo 4

Resolvendo o sistema em
podemos multiplicar a primeira por 3 e a segunda por 2 e subtrair, ou observar que
mas o método direto dá
Finalmente, (b = -a - c = -4 -1 = -5].

Resposta

6 + 11x + 6x^2 ;=; 4,p1;-;5,p2;+;p3

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