Em cada parte, determine se os vetores dados geram R^3.
v1=(2,-1,3), v2=(4,1,2), v3=(8,-1,8)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=(2,-1,3), v2=(4,1,2), v3=(8,-1,8).
A pergunta é se eles geram R^3, ou seja, se são linearmente independentes.

Passo 2

Um critério prático é montar a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3 e verificar
se
det(A)neq 0
Se for diferente de zero, eles são independentes e geram R^3; se for zero, não geram.

Passo 3

A matriz é
A = 2 & 4 & 8 -1 & 1 & -1 3 & 2 & 8
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =2l(1cdot8 -(-1)cdot2r) -4l((-1)cdot8 -(-1)cdot3r) +8l((-1)cdot2 -1cdot3r)
Isso dá
2,(8+2);-;4,(-8+3);+;8,(-2-3) =2cdot10 ;-;4cdot(-5);+;8cdot(-5) =20 +20 -40 =0

Passo 4

Como det(A)=0, há dependência linear entre os vetores e a dimensão do subespaço por eles gerado é menor que 3. Logo eles não geram R^3.

Resposta

Os vetores não geram R^3.

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