Suponha que v1, v2 e v3 sejam vetores em R^3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os três vetores estão num mesmo plano.
v1=(2,-1,4), v2=(4,2,3), v3=(2,7,-6)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3 com origem na origem:
v1=(2,-1,4), v2=(4,2,3), v3=(2,7,-6),
e pede para saber se eles estão no mesmo plano. O conteúdo usado será o produto misto (ou escalar triplo), que nos diz que três vetores com a mesma origem são coplanares se, e somente se, o produto misto for zero.

Passo 2

O produto misto de v1,v2,v3 pode ser escrito como determinante:
[v1,v2,v3] =det 2 & 4 & 2 -1 & 2 & 7 4 & 3 & -6
Se esse determinante for zero, os vetores são coplanares; caso contrário, não são.

Passo 3

Vamos calcular o determinante por expansão na primeira linha:
det 2 & 4 & 2 -1 & 2 & 7 4 & 3 & -6 =2det2 & 73 & -6 -4det-1 & 74 & -6 +2det-1 & 24 & 3
Agora os menores:
det2 & 73 & -6 =2cdot(-6)-7cdot3=-12-21=-33,
det-1 & 74 & -6 =(-1)cdot(-6)-7cdot4=6-28=-22,
det-1 & 24 & 3 =(-1)cdot3-2cdot4=-3-8=-11

Passo 4

Substituindo:
[v1,v2,v3] =2cdot(-33)-4cdot(-22)+2cdot(-11) =-66+88-22=0
Como o produto misto deu zero, os vetores são coplanares.

Resposta

Sim, os três vetores estão no mesmo plano.

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