Considere A3 times 3=[ai j], com ai j=i+j, e B3 times 3=[bi j], com bi j=i-j. Determine:
a) A B
b) B A
c) A^2+2 A B+B^2
d) (A+B)^2
(obs: A^2=A cdot A )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes quadradas de ordem 3, a matriz A onde cada elemento é a soma dos índices i + j e a matriz B onde cada elemento é a diferença dos índices i - j . Nosso objetivo é calcular várias operações entre essas matrizes, como multiplicação e combinações delas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e como somar e elevar matrizes ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes A e B explicitamente. Como aij = i + j e bij = i - j , temos:
A = 1+1 & 1+2 & 1+3 2+1 & 2+2 & 2+3 3+1 & 3+2 & 3+3 = 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5 4 & 5 & 6
B = 1-1 & 1-2 & 1-3 2-1 & 2-2 & 2-3 3-1 & 3-2 & 3-3 = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0

Passo 3

Vamos resolver a parte a) AB . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os resultados. Vamos calcular cada elemento de AB :
(AB)11 = (2)(0) + (3)(1) + (4)(2) = 0 + 3 + 8 = 11
(AB)12 = (2)(-1) + (3)(0) + (4)(1) = -2 + 0 + 4 = 2
(AB)13 = (2)(-2) + (3)(-1) + (4)(0) = -4 -3 + 0 = -7
(AB)21 = (3)(0) + (4)(1) + (5)(2) = 0 + 4 + 10 = 14
(AB)22 = (3)(-1) + (4)(0) + (5)(1) = -3 + 0 + 5 = 2
(AB)23 = (3)(-2) + (4)(-1) + (5)(0) = -6 -4 + 0 = -10
(AB)31 = (4)(0) + (5)(1) + (6)(2) = 0 + 5 + 12 = 17
(AB)32 = (4)(-1) + (5)(0) + (6)(1) = -4 + 0 + 6 = 2
(AB)33 = (4)(-2) + (5)(-1) + (6)(0) = -8 -5 + 0 = -13
Então, a matriz AB fica:
AB = 11 & 2 & -7 14 & 2 & -10 17 & 2 & -13

Passo 4

Agora, vamos para a parte b) BA . Usamos o mesmo método de multiplicação de matrizes. Vamos calcular cada elemento de BA :
(BA)11 = (0)(2) + (-1)(3) + (-2)(4) = 0 -3 -8 = -11
(BA)12 = (0)(3) + (-1)(4) + (-2)(5) = 0 -4 -10 = -14
(BA)13 = (0)(4) + (-1)(5) + (-2)(6) = 0 -5 -12 = -17
(BA)21 = (1)(2) + (0)(3) + (-1)(4) = 2 + 0 -4 = -2
(BA)22 = (1)(3) + (0)(4) + (-1)(5) = 3 + 0 -5 = -2
(BA)23 = (1)(4) + (0)(5) + (-1)(6) = 4 + 0 -6 = -2
(BA)31 = (2)(2) + (1)(3) + (0)(4) = 4 + 3 + 0 = 7
(BA)32 = (2)(3) + (1)(4) + (0)(5) = 6 + 4 + 0 = 10
(BA)33 = (2)(4) + (1)(5) + (0)(6) = 8 + 5 + 0 = 13
Então, a matriz BA fica:
BA = -11 & -14 & -17 -2 & -2 & -2 7 & 10 & 13

Passo 5

Agora, vamos para a parte c) A^2 + 2AB + B^2 . Primeiro, precisamos calcular A^2 e B^2 , além de já termos AB .
Para calcular A^2 = A cdot A :
A^2 = 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5 4 & 5 & 6 cdot 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5 4 & 5 & 6
Calculando cada elemento:
(A^2)11 = 2*2 + 3*3 + 4*4 = 4 + 9 + 16 = 29
(A^2)12 = 2*3 + 3*4 + 4*5 = 6 + 12 + 20 = 38
(A^2)13 = 2*4 + 3*5 + 4*6 = 8 + 15 + 24 = 47
(A^2)21 = 3*2 + 4*3 + 5*4 = 6 + 12 + 20 = 38
(A^2)22 = 3*3 + 4*4 + 5*5 = 9 + 16 + 25 = 50
(A^2)23 = 3*4 + 4*5 + 5*6 = 12 + 20 + 30 = 62
(A^2)31 = 4*2 + 5*3 + 6*4 = 8 + 15 + 24 = 47
(A^2)32 = 4*3 + 5*4 + 6*5 = 12 + 20 + 30 = 62
(A^2)33 = 4*4 + 5*5 + 6*6 = 16 + 25 + 36 = 77
Então,
A^2 = 29 & 38 & 47 38 & 50 & 62 47 & 62 & 77
Agora, vamos calcular B^2 = B cdot B :
B^2 = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 cdot 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0
Calculando cada elemento:
(B^2)11 = 0*0 + (-1)*1 + (-2)*2 = 0 -1 -4 = -5
(B^2)12 = 0*(-1) + (-1)*0 + (-2)*1 = 0 + 0 -2 = -2
(B^2)13 = 0*(-2) + (-1)*(-1) + (-2)*0 = 0 +1 +0 = 1
(B^2)21 = 1*0 + 0*1 + (-1)*2 = 0 +0 -2 = -2
(B^2)22 = 1*(-1) + 0*0 + (-1)*1 = -1 +0 -1 = -2
(B^2)23 = 1*(-2) + 0*(-1) + (-1)*0 = -2 +0 +0 = -2
(B^2)31 = 2*0 + 1*1 + 0*2 = 0 +1 +0 = 1
(B^2)32 = 2*(-1) + 1*0 + 0*1 = -2 +0 +0 = -2
(B^2)33 = 2*(-2) + 1*(-1) + 0*0 = -4 -1 +0 = -5
Então,
B^2 = -5 & -2 & 1 -2 & -2 & -2 1 & -2 & -5
Agora, sabemos que AB é:
AB = 11 & 2 & -7 14 & 2 & -10 17 & 2 & -13
Vamos calcular 2AB :
2AB = 2 times 11 & 2 & -7 14 & 2 & -10 17 & 2 & -13 = 22 & 4 & -14 28 & 4 & -20 34 & 4 & -26
Agora, somamos A^2 + 2AB + B^2 :
A^2 + 2AB + B^2 = 29 & 38 & 47 38 & 50 & 62 47 & 62 & 77 + 22 & 4 & -14 28 & 4 & -20 34 & 4 & -26 + -5 & -2 & 1 -2 & -2 & -2 1 & -2 & -5
Vamos somar elemento por elemento:
(29 + 22 -5) = 46
(38 + 4 -2) = 40
(47 -14 +1) = 34
(38 + 28 -2) = 64
(50 + 4 -2) = 52
(62 -20 -2) = 40
(47 + 34 +1) = 82
(62 + 4 -2) = 64
(77 -26 -5) = 46
Portanto,
A^2 + 2AB + B^2 = 46 & 40 & 34 64 & 52 & 40 82 & 64 & 46

Passo 6

Agora, vamos para a parte d) (A + B)^2 . Primeiro, precisamos calcular A + B e depois multiplicar essa matriz por ela mesma.
Calculando A + B :
A + B = 2 & 3 & 4 3 & 4 & 5 4 & 5 & 6 + 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 = 2+0 & 3+(-1) & 4+(-2) 3+1 & 4+0 & 5+(-1) 4+2 & 5+1 & 6+0 = 2 & 2 & 2 4 & 4 & 4 6 & 6 & 6
Agora, vamos multiplicar A + B por si mesma:
(A + B)^2 = 2 & 2 & 2 4 & 4 & 4 6 & 6 & 6 cdot 2 & 2 & 2 4 & 4 & 4 6 & 6 & 6
Calculando cada elemento:
((A + B)^2)11 = 2*2 + 2*4 + 2*6 = 4 + 8 + 12 = 24
((A + B)^2)12 = 2*2 + 2*4 + 2*6 = 4 + 8 + 12 = 24
((A + B)^2)13 = 2*2 + 2*4 + 2*6 = 4 + 8 + 12 = 24
((A + B)^2)21 = 4*2 + 4*4 + 4*6 = 8 + 16 + 24 = 48
((A + B)^2)22 = 4*2 + 4*4 + 4*6 = 8 + 16 + 24 = 48
((A + B)^2)23 = 4*2 + 4*4 + 4*6 = 8 + 16 + 24 = 48
((A + B)^2)31 = 6*2 + 6*4 + 6*6 = 12 + 24 + 36 = 72
((A + B)^2)32 = 6*2 + 6*4 + 6*6 = 12 + 24 + 36 = 72
((A + B)^2)33 = 6*2 + 6*4 + 6*6 = 12 + 24 + 36 = 72
Então,
(A + B)^2 = 24 & 24 & 24 48 & 48 & 48 72 & 72 & 72

Resposta

a) AB = 11 & 2 & -7 14 & 2 & -10 17 & 2 & -13
b) BA = -11 & -14 & -17 -2 & -2 & -2 7 & 10 & 13
c) A^2 + 2AB + B^2 = 46 & 40 & 34 64 & 52 & 40 82 & 64 & 46
d) (A + B)^2 = 24 & 24 & 24 48 & 48 & 48 72 & 72 & 72

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