Em cada parte, encontre duas fórmulas para o termo geral da sequência, uma começando
e a outra
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
.
O que pede: em cada parte (índice começando em e índice começando em
) encontrar uma fórmula para o termo geral da sequência. Informação relevante:
é uma constante (qualquer número, real ou complexo); os termos apresentados são os primeiros termos da sequência em ordem.
O que pede: em cada parte (índice começando em
Passo 2
Observando a sequência, note duas coisas simples e úteis:
- Os sinais alternam
. - O valor absoluto dos termos é
, ou seja, potências de .
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos para identificar o padrão multiplicativo:
Como a razão entre termos consecutivos é sempre
, a sequência é geométrica com razão
.
Passo 3
Lembrete rápido sobre progressão geométrica (passo didático): uma sequência geométrica com primeiro termo
e razão
tem termo geral dado por
onde
conta a partir de
. Aqui, o primeiro termo é
e a razão é
. Substituindo na fórmula da PG obtemos (desenvolvimento passo a passo):
Outra forma equivalente, expondo o sinal separadamente, é usar a propriedade
. Essas duas expressões são o mesmo objeto escrito de maneiras diferentes; ambas valem quando
começa em
.
Passo 4
Agora a versão com índice começando em
. Para uma PG é comum também usar o termo
; a fórmula correspondente é
quando
começa em
. Aqui
é o termo na posição
. Observando a sequência que queremos indexar por
, o termo de ordem zero deve ser
(porque queremos
), e a razão continua
. Assim:
Novamente, escrevendo o sinal separado:
. Ambas as formas são equivalentes e válidas para
começando em
.
Passo 5
Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança): se
então a sequência é
.
- Usando a fórmula com
: , , . OK. - Usando a fórmula com
: , , . OK.
Passo 6
Resumo do raciocínio (para a prova): identificar a razão
rapidamente é a chave; depois aplicar a fórmula padrão da PG conforme o índice escolhido. Se quiser escrever o sinal separado (útil para analisar paridade) use a forma com
multiplicando
.