Em cada parte, encontre duas fórmulas para o termo geral da sequência, uma começando \operatorname{com} n=1 e a outra \operatorname{com} n=0.
1,-r, r^{2},-r^{3}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
1,\\\ -r,\\ r^{2},\\\ -r^{3},\\ \ldots.
O que pede: em cada parte (índice começando em n=1 e índice começando em n=0) encontrar uma fórmula para o termo geral da sequência. Informação relevante: r é uma constante (qualquer número, real ou complexo); os termos apresentados são os primeiros termos da sequência em ordem.

Passo 2

Observando a sequência, note duas coisas simples e úteis:
  • Os sinais alternam +,-,+,-,\ldots.
  • O valor absoluto dos termos é 1,\,r,\,r^{2},\,r^{3},\ldots, ou seja, potências de r.
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos para identificar o padrão multiplicativo:
\frac{-r}{1}=-r,\qquad \frac{r^{2}}{-r}=-r,\qquad \frac{-r^{3}}{r^{2}}=-r.
Como a razão entre termos consecutivos é sempre -r, a sequência é geométrica com razão q=-r.

Passo 3

Lembrete rápido sobre progressão geométrica (passo didático): uma sequência geométrica com primeiro termo a_{1} e razão q tem termo geral dado por
a_{n}=a_{1}\,q^{\,n-1},
onde n conta a partir de 1. Aqui, o primeiro termo é a_{1}=1 e a razão é q=-r. Substituindo na fórmula da PG obtemos (desenvolvimento passo a passo):
a_{n}=1\cdot(-r)^{\,n-1}=(-r)^{\,n-1}.
Outra forma equivalente, expondo o sinal separadamente, é usar a propriedade (-r)^{\,n-1}=(-1)^{\,n-1}r^{\,n-1}. Essas duas expressões são o mesmo objeto escrito de maneiras diferentes; ambas valem quando n começa em 1.

Passo 4

Agora a versão com índice começando em n=0. Para uma PG é comum também usar o termo a_{0}; a fórmula correspondente é
a_{n}=a_{0}\,q^{\,n},
quando n começa em 0. Aqui a_{0} é o termo na posição 0. Observando a sequência que queremos indexar por n=0, o termo de ordem zero deve ser a_{0}=1 (porque queremos a_{0}=1,\\ a_{1}=-r,\\ a_{2}=r^{2},\ldots), e a razão continua q=-r. Assim:
a_{n}=1\cdot(-r)^{\,n}=(-r)^{\,n}.
Novamente, escrevendo o sinal separado: (-r)^{\,n}=(-1)^{\,n}r^{\,n}. Ambas as formas são equivalentes e válidas para n começando em 0.

Passo 5

Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança): se r=2 então a sequência é 1,-2,4,-8,\ldots.
  • Usando a fórmula com n=1: a_{1}=(-r)^{1-1}=(-2)^{0}=1, a_{2}=(-2)^{1}=-2, a_{3}=(-2)^{2}=4. OK.
  • Usando a fórmula com n=0: a_{0}=(-2)^{0}=1, a_{1}=(-2)^{1}=-2, a_{2}=(-2)^{2}=4. OK.

Passo 6

Resumo do raciocínio (para a prova): identificar a razão -r rapidamente é a chave; depois aplicar a fórmula padrão da PG conforme o índice escolhido. Se quiser escrever o sinal separado (útil para analisar paridade) use a forma com (-1)^{\cdot} multiplicando r^{\cdot}.

Resposta

\text{Para }n=1:\quad a_{n}=(-r)^{\,n-1}=(-1)^{\,n-1}r^{\,n-1}
\text{Para }n=0:\quad a_{n}=(-r)^{\,n}=(-1)^{\,n}r^{\,n}

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