Utilizando as séries geométricas, mostre que
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2 k}=\frac{1}{1+x^{2}}, \quad se -1<x<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2k}
é igual a \dfrac{1}{1+x^{2}} sempre que -1<x<1.
Informações que temos:
  • A série é \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2k}.
  • A condição dada sobre x é -1<x<1.
  • Precisamos provar a igualdade indicada sob essa condição.

Passo 2

Vamos recordar e provar a fórmula da soma da série geométrica (essa é a ferramenta principal aqui).
Seja r um número com |r|<1. A soma parcial dos primeiros n+1 termos da série geométrica é
S_n = 1 + r + r^{2} + \cdots + r^{n}.
Multiplicando S_n por r obtemos
rS_n = r + r^{2} + \cdots + r^{n} + r^{n+1}.
Subtraindo as duas igualdades ( S_n - rS_n) cancela quase todos os termos; assim
S_n - rS_n = 1 - r^{n+1}.
Fatorando o lado esquerdo:
(1-r)S_n = 1 - r^{n+1}.
Desde que r \neq 1, isolamos S_n:
S_n = \frac{1 - r^{n+1}}{1-r}.
Como assumimos |r|<1, temos r^{n+1}\to 0 quando n\to\infty. Portanto a soma infinita existe e vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{1-r}.

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula ao nosso caso. Observe que
(-1)^{k} x^{2k} = \bigl(-x^{2}\bigr)^{k}.
Logo a série dada pode ser reescrita como uma série geométrica com razão r = -x^{2}:
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2k} = \sum_{k=0}^{\infty} \bigl(-x^{2}\bigr)^{k}.

Passo 4

Verificamos a condição de convergência para usar a fórmula geométrica. A hipótese -1<x<1 implica |x|<1. Então
|r| = \bigl|-x^{2}\bigr| = x^{2} < 1,
portanto |r|<1 e podemos aplicar o resultado do Passo 2.
Pelo resultado da soma da geométrica com r=-x^{2} temos
\sum_{k=0}^{\infty} \bigl(-x^{2}\bigr)^{k} = \frac{1}{1-(-x^{2})} = \frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar: se x=\tfrac{1}{2}, então a série é \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{k}, cuja soma é \dfrac{1}{1-(-1/4)}=\dfrac{1}{1+1/4}=\dfrac{4}{5}. Dá para conferir aproximando pelos primeiros termos.

Resposta

\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2k}=\frac{1}{1+x^{2}}\quad\text{se}\quad -1<x<1.

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