Utilizando as séries geométricas, mostre que
se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é igual a
sempre que
.
Informações que temos:
- A série é
. - A condição dada sobre
é . - Precisamos provar a igualdade indicada sob essa condição.
Passo 2
Vamos recordar e provar a fórmula da soma da série geométrica (essa é a ferramenta principal aqui).
Seja
um número com
. A soma parcial dos primeiros
termos da série geométrica é
Multiplicando
por
obtemos
Subtraindo as duas igualdades (
) cancela quase todos os termos; assim
Fatorando o lado esquerdo:
Desde que
, isolamos
:
Como assumimos
, temos
quando
. Portanto a soma infinita existe e vale
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula ao nosso caso. Observe que
Logo a série dada pode ser reescrita como uma série geométrica com razão
:
Passo 4
Verificamos a condição de convergência para usar a fórmula geométrica. A hipótese
implica
. Então
portanto
e podemos aplicar o resultado do Passo 2.
Pelo resultado da soma da geométrica com
temos
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar: se
, então a série é
, cuja soma é
. Dá para conferir aproximando pelos primeiros termos.