Em cada parte encontre a equação característica da matriz.
(a) [ccc4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1]
(b) [ccc3 & 0 & -5 1 / 5 & -1 & 0 1 & 1 & -2]
(c) [ccc-2 & 0 & 1 -6 & -2 & 0 19 & 5 & -4]
(d) [ccc-1 & 0 & 1 -1 & 3 & 0 -4 & 13 & -1]
(e) [ccc5 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -7 & 1 & 0]
(f) [ccc5 & 6 & 2 0 & -1 & -8 1 & 0 & -2].

Passo 1

O enunciado pede, para cada matriz A de ordem 3, a sua equação característica, ou seja a condição
detl(A - lambda Ir)=0
O conteúdo aqui é o cálculo de determinantes de matrizes 3times3 e uso da definição de polinômio característico.

Passo 2

Recordando: se
A= a & b & c d & e & f g & h & i ,
então
det(A-lambda I) =det a-lambda & b & c d & e-lambda & f g & h & i-lambda
pode ser calculado por expansão em primeira linha (ou em qualquer linha/coluna com zeros). Feito isso, impomos det(A-lambda I)=0.

Passo 3

Parte (a):
A= 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 Longrightarrow A-lambda I = 4-lambda & 0 & 1 -2 & 1-lambda & 0 -2 & 0 & 1-lambda
Expandindo pelo elemento (2,2) (único não nulo na 2ª coluna),
det(A-lambda I) =(1-lambda)det4-lambda&1-2&1-lambda =(1-lambda)l((4-lambda)(1-lambda)+2r) =(1-lambda)(lambda^2-5lambda+6)

Passo 4

Parte (b):
A= 3 & 0 & -5 tfrac15 & -1 & 0 1 & 1 & -2 Longrightarrow A-lambda I = 3-lambda & 0 & -5 tfrac15 & -1-lambda & 0 1 & 1 & -2-lambda
Expandindo pela segunda linha, termos com zero desaparecem, e obtemos
det(A-lambda I) =-tfrac15l(0cdot(-2-lambda)-(-5)cdot1r) +( -1-lambda)l((3-lambda)(-2-lambda)+5r) =-lambda(lambda^2-2)

Passo 5

Parte (c):
A= -2 & 0 & 1 -6 & -2 & 0 19 & 5 & -4 Longrightarrow A-lambda I = -2-lambda & 0 & 1 -6 & -2-lambda & 0 19 & 5 & -4-lambda
Expandindo pela segunda linha, chega-se a
det(A-lambda I) =-(lambda+8)(lambda^2+1)

Passo 6

Parte (d):
A= -1 & 0 & 1 -1 & 3 & 0 -4 & 13 & -1 Longrightarrow A-lambda I = -1-lambda & 0 & 1 -1 & 3-lambda & 0 -4 & 13 & -1-lambda
Expandindo pela primeira linha, obtém-se
det(A-lambda I) =-(lambda^3-lambda^2-5lambda+10)

Passo 7

Parte (e):
A= 5 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -7 & 1 & 0 Longrightarrow A-lambda I = 5-lambda & 0 & 1 1 & 1-lambda & 0 -7 & 1 & -lambda
Expandindo pela primeira linha, resulta
det(A-lambda I) =-(lambda-2)^3

Passo 8

Parte (f):
A= 5 & 6 & 2 0 & -1 & -8 1 & 0 & -2 Longrightarrow A-lambda I = 5-lambda & 6 & 2 0 & -1-lambda & -8 1 & 0 & -2-lambda
Expandindo pela segunda linha, obtém-se
det(A-lambda I) =-(lambda-3)^2(lambda+4)

Resposta

(a) (lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)=0
(b) lambda(lambda^2-2)=0
(c) (lambda+8)(lambda^2+1)=0
(d) lambda^3-lambda^2-5lambda+10=0
(e) (lambda-2)^3=0
(f) (lambda-3)^2(lambda+4)=0

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