Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços de R^3.
(a) Todos os vetores da forma (a, 0,0).
(b) Todos os vetores da forma (a, 1,1).
(c) Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c.
(d) Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=a+c+1.
(e) Todos os vetores da forma (a, b, 0).

Passo 1

O enunciado pede para decidir quais dos subconjuntos dados de R^3 são subespaços lineares. Para isso vamos usar o critério padrão de subespaço: um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço se e somente se
  1. 0=(0,0,0)in W,
  2. u,vin Wimplies u+vin W,
  3. lambdainR,;uin Wimplies lambda uin W.

Passo 2

Conjunto (a):
Wa=(a,0,0)mid ainR
– O vetor zero é (0,0,0), que ocorre em Wa com a=0.
– Soma: (a,0,0)+(a',0,0)=(a+a',0,0)in Wa.
– Multiplicação: lambda,(a,0,0)=(lambda a,0,0)in Wa.
Logo (a) é subespaço.

Passo 3

Conjunto (b):
Wb=(a,1,1)mid ainR
– O vetor zero (0,0,0) não está em Wb, pois em todo vetor de Wb a segunda coordenada é 1neq0.
Portanto (b) não é subespaço (já falha o item 1).

Passo 4

Conjuntos (c) e (d):
Wc=(a,b,c)mid b=a+c, Wd=(a,b,c)mid b=a+c+1
Para Wc:
– Zero: em (0,0,0) temos 0=0+0, ok.
– Soma de (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) em Wc satisfaz
b1+b2=(a1+c1)+(a2+c2)=(a1+a2)+(c1+c2),
logo (a1+a2,b1+b2,c1+c2)in Wc.
– Escalar: lambda(a,b,c)=(lambda a,lambda b,lambda c) satisfaz
lambda b=lambda(a+c)=lambda a+lambda c,
logo também fecha.
Então (c) é subespaço.
Para Wd:
– Zero: (0,0,0) não satisfaz 0=0+0+1.
Logo (d) não é subespaço.

Passo 5

Conjunto (e):
We=(a,b,0)mid a,binR
– Zero: (0,0,0)in We.
– Soma e escalar mantêm a terceira coordenada igual a zero, pois
(a,b,0)+(a',b',0)=(a+a',b+b',0), lambda(a,b,0)=(lambda a,lambda b,0)
Logo (e) é subespaço.

Resposta

Os conjuntos que são subespaços de R^3 são:
(a), (c) e (e).

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