Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
.
(a) Todos os vetores da forma
.
(b) Todos os vetores da forma
.
(c) Todos os vetores da forma
,
.
(d) Todos os vetores da forma
.
(e) Todos os vetores da forma
.
(a) Todos os vetores da forma
(b) Todos os vetores da forma
(c) Todos os vetores da forma
(d) Todos os vetores da forma
(e) Todos os vetores da forma
Passo 1
O enunciado pede para decidir quais dos subconjuntos dados de
são subespaços lineares. Para isso vamos usar o critério padrão de subespaço: um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
, -
, -
.
Passo 2
Conjunto (a):
– O vetor zero é
, que ocorre em
com
.
– Soma: .
– Multiplicação: .
Logo (a) é subespaço.
– Soma:
– Multiplicação:
Logo (a) é subespaço.
Passo 3
Conjunto (b):
– O vetor zero
não está em
, pois em todo vetor de
a segunda coordenada é
.
Portanto (b) não é subespaço (já falha o item 1).
Portanto (b) não é subespaço (já falha o item 1).
Passo 4
Conjuntos (c) e (d):
Para
:
– Zero: em temos
, ok.
– Soma de e
em
satisfaz
– Zero: em
– Soma de
logo
.
– Escalar: satisfaz
,
logo também fecha.
Então (c) é subespaço.
– Escalar:
logo também fecha.
Então (c) é subespaço.
Para
:
– Zero: não satisfaz
.
Logo (d) não é subespaço.
– Zero:
Logo (d) não é subespaço.
Passo 5
Conjunto (e):
– Zero:
.
– Soma e escalar mantêm a terceira coordenada igual a zero, pois
– Soma e escalar mantêm a terceira coordenada igual a zero, pois
Logo (e) é subespaço.
Resposta
Os conjuntos que são subespaços de
são:
(a), (c) e (e).
(a), (c) e (e).