Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R^3 ?
(a) (1,0,0),(2,2,0),(3,3,3)
(b) (3,1-4),(2,5,6),(1,4,8)
(c) (2,-3,1),(4,1,1),(0,-7,1)
(d) (1,6,4),(2,4,-1),(-1,2,5).

Passo 1

O enunciado apresenta quatro conjuntos de três vetores em R^3 e pede para identificar quais formam bases de R^3. O conteúdo principal aqui é independência linear em R^3 e cálculo de determinantes.

Passo 2

Para um conjunto de três vetores em R^3 ser base, é necessário e suficiente que eles sejam linearmente independentes. Isso equivale a construir a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se o determinante dessa matriz é não nulo: se detneq0, então é base.

Passo 3

Para o conjunto (a) temos a matriz
A = 1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 0 & 0 & 3
Como A é triangular superior,
det A = 1cdot2cdot3 = 6 neq 0
Logo, (a) é base de R^3.

Passo 4

Para o conjunto (b) temos
B = 3 & 2 & 1 1 & 5 & 4 -4 & 6 & 8 ,
det B = 3(5cdot8 - 4cdot6);-;2(1cdot8 - 4cdot(-4));+;1(1cdot6 - 5cdot(-4)) =48 -48 +26 =26 neq 0
Portanto, (b) também é base.

Passo 5

Para o conjunto (c) temos
C = 2 & 4 & 0 -3 & 1 & -7 1 & 1 & 1 ,
det C = 2(1cdot1 - (-7)cdot1);-;4((-3)cdot1 - (-7)cdot1);+;0 =2cdot8 -4cdot4 =16 -16 =0
Logo, (c) não forma base.

Passo 6

Para o conjunto (d) temos
D = 1 & 2 & -1 6 & 4 & 2 4 & -1 & 5 ,
det D = 1(4cdot5 - 2cdot(-1));-;2(6cdot5 - 2cdot4);+;(-1)(6cdot(-1) - 4cdot4) =22 -44 +22 =0
Portanto, (d) também não forma base.

Resposta

(a) e (b)

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