Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de ?
(a)
(b)
(c)
(d) .
Passo 1
O enunciado apresenta quatro conjuntos de três vetores em e pede para identificar quais formam bases de . O conteúdo principal aqui é independência linear em e cálculo de determinantes.
Passo 2
Para um conjunto de três vetores em ser base, é necessário e suficiente que eles sejam linearmente independentes. Isso equivale a construir a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se o determinante dessa matriz é não nulo: se , então é base.
Passo 3
Para o conjunto (a) temos a matriz
Como A é triangular superior,
det A = 1cdot2cdot3 = 6 neq 0
Logo, (a) é base de R^3.
Passo 4
Para o conjunto (b) temos
B = 3 & 2 & 1 1 & 5 & 4 -4 & 6 & 8 ,
det B = 3(5cdot8 - 4cdot6);-;2(1cdot8 - 4cdot(-4));+;1(1cdot6 - 5cdot(-4)) =48 -48 +26 =26 neq 0
Portanto, (b) também é base.
Passo 5
Para o conjunto (c) temos
C = 2 & 4 & 0 -3 & 1 & -7 1 & 1 & 1 ,
det C = 2(1cdot1 - (-7)cdot1);-;4((-3)cdot1 - (-7)cdot1);+;0 =2cdot8 -4cdot4 =16 -16 =0
Logo, (c) não forma base.
Passo 6
Para o conjunto (d) temos
D = 1 & 2 & -1 6 & 4 & 2 4 & -1 & 5 ,
det D = 1(4cdot5 - 2cdot(-1));-;2(6cdot5 - 2cdot4);+;(-1)(6cdot(-1) - 4cdot4) =22 -44 +22 =0