Em cada parte explique em palavras por que os vetores dados não formam uma base do espaço vetorial dado.
(a)
para
(b)
para
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para explicar em palavras por que, em cada caso, o conjunto de vetores dado não é uma base do espaço vetorial indicado. Lembrando que um conjunto é base de
se, e somente se,
- os vetores são linearmente independentes, e
- geram todo o espaço (
do span é ).
Em particular, qualquer base detem exatamente vetores.
Passo 2
Parte (a): temos os vetores
,
,
em
.
Como , qualquer conjunto com 3 vetores em
é necessariamente linearmente dependente. De fato, nota-se que
Como
ou seja,
é combinação linear de
e
. Logo o conjunto não é linearmente independente e não pode ser base.
Passo 3
Parte (b): temos os vetores
,
em
.
Aqui , mas o conjunto só tem 2 vetores, então o subespaço que eles geram tem dimensão no máximo 2. Assim não é possível gerar todas as direções de
(não satisfaz o requisito de gerar o espaço) e, portanto, não é base.
Aqui
Resposta
(a) Em
há 3 vetores e logo eles são linearmente dependentes (
); portanto não podem formar base.
(b) Em só há 2 vetores, insuficientes para gerar todo o espaço (é preciso 3 vetores independentes); logo não formam base.
(b) Em