Em cada parte explique em palavras por que os vetores dados não formam uma base do espaço vetorial dado.
(a) U1=(1,2), U2=(0,3), U3=(2,7) para R^2
(b) U1=(-1,3,2), U2=(6,1,1) para R^3.

Passo 1

O enunciado pede para explicar em palavras por que, em cada caso, o conjunto de vetores dado não é uma base do espaço vetorial indicado. Lembrando que um conjunto é base de R^n se, e somente se,
  1. os vetores são linearmente independentes, e
  2. geram todo o espaço ( dim do span é n).
    Em particular, qualquer base de R^n tem exatamente n vetores.

Passo 2

Parte (a): temos os vetores
boldsymbol U1=(1,2), boldsymbol U2=(0,3), boldsymbol U3=(2,7) em R^2.
Como dimR^2=2, qualquer conjunto com 3 vetores em R^2 é necessariamente linearmente dependente. De fato, nota-se que
boldsymbol U3 = 2,boldsymbol U1 + boldsymbol U2,
ou seja, boldsymbol U3 é combinação linear de boldsymbol U1 e boldsymbol U2. Logo o conjunto não é linearmente independente e não pode ser base.

Passo 3

Parte (b): temos os vetores
boldsymbol U1=(-1,3,2), boldsymbol U2=(6,1,1) em R^3.
Aqui dimR^3=3, mas o conjunto só tem 2 vetores, então o subespaço que eles geram tem dimensão no máximo 2. Assim não é possível gerar todas as direções de R^3 (não satisfaz o requisito de gerar o espaço) e, portanto, não é base.

Resposta

(a) Em R^2 há 3 vetores e logo eles são linearmente dependentes ( boldsymbol U3=2boldsymbol U1+boldsymbol U2); portanto não podem formar base.
(b) Em R^3 só há 2 vetores, insuficientes para gerar todo o espaço (é preciso 3 vetores independentes); logo não formam base.

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