Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R^2 ?
(a) (2,1),(3,0)
(b) (4,1),(-7,-8)
(c) (0,0),(1,3)
(d) (3,9),(-4,-12).

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos pares de vetores dados formam base de . Sabemos que uma base de requer dois vetores linearmente independentes (LI).
Em , dois vetores e são LI se, e somente se, seu determinante for diferente de zero:
Além disso, nenhum deles pode ser o vetor nulo.

Passo 2

Para o item (a), os vetores são (2,1) e (3,0). Calculamos
det2 & 31 & 0 =2cdot0 - 1cdot3 = -3neq0
Logo, são LI e formam base.

Passo 3

Para o item (b), os vetores são (4,1) e (-7,-8). Calculamos
det4 & -71 & -8 =4cdot(-8) - 1cdot(-7) = -32 + 7 = -25neq0
Logo, são LI e formam base.

Passo 4

No item (c) aparece o vetor (0,0). Qualquer conjunto que contenha o vetor nulo não pode ser LI, logo não é base.

Passo 5

Para o item (d), os vetores são (3,9) e (-4,-12). Calculamos
det3 & -49 & -12 =3cdot(-12) - 9cdot(-4) = -36 + 36 = 0
Como o determinante é zero, eles são linearmente dependentes e não formam base.

Resposta

(a) e (b) são bases de R^2.

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