Em cada parte, encontre a equação característica da matriz.
\left[\begin{array}{rrr}5 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & -8 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a equação característica da matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 2\\\\ 0 & -1 & -8\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Para isso vamos usar a definição
\det(A - \lambda I)=0,
que gera um polinômio em \lambda.

Passo 2

Escrevemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 5-\lambda & 6 & 2\\\\ 0 & -1-\lambda & -8\\\\ 1 & 0 & -2-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular
\det(A - \lambda I)
expandindo pela primeira linha:
\det(A - \lambda I) = (5-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & -8\\\ 0 & -2-\lambda\end{pmatrix} -6\det\!\begin{pmatrix}0 & -8\\\ 1 & -2-\lambda\end{pmatrix} +2\det\!\begin{pmatrix}0 & -1-\lambda\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & -8\\\ 0 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(\\ -1-\lambda)(\\ -2-\lambda)=\lambda^2+3\lambda+2,
\det\!\begin{pmatrix}0 & -8\\\ 1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =0\cdot(-2-\lambda)-(-8)\cdot1=8,
\det\!\begin{pmatrix}0 & -1-\lambda\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =0\cdot0-(-1-\lambda)\cdot1=1+\lambda.

Passo 5

Substituindo na expansão:
\det(A-\lambda I) =(5-\lambda)(\lambda^2+3\lambda+2)-6\cdot8+2(1+\lambda).
Expandindo:
(5-\lambda)(\lambda^2+3\lambda+2) =-\lambda^3+2\lambda^2+13\lambda+10,
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\det(A-\lambda I) =-\lambda^3+2\lambda^2+13\lambda+10-48+2+2\lambda =-\lambda^3+2\lambda^2+15\lambda-36.

Passo 6

Multiplicando tudo por -1 para obter o polinômio monico:
\lambda^3-2\lambda^2-15\lambda+36=0.

Resposta

A equação característica é
\lambda^3-2\lambda^2-15\lambda+36=0.

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