Em cada parte, encontre a equação característica da matriz.
\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a equação característica da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é polinômio característico, que se obtém de \det(A - \lambda I). Vamos usar que, por ser triangular por blocos, o determinante se separa em produto de determinantes de cada bloco.

Passo 2

Observamos que
A-\lambda I = \begin{pmatrix} B-\lambda I_3 & 0\\\\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix},
onde
B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
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\det(A-\lambda I) = \det(B-\lambda I_3)\,\det(1-\lambda) = (1-\lambda)\,\det(B-\lambda I_3).

Passo 3

Calculamos
\det(B-\lambda I_3) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 2\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\begin{aligned} \det(B-\lambda I_3) &= -\lambda\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & -2-\lambda\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1 & -\lambda\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\\\ &= -\lambda\bigl((-\lambda)(-2-\lambda)-1\cdot1\bigr)+2\cdot1\\\ &= -\lambda\bigl(\lambda^2+2\lambda-1\bigr)+2\\\ &= -\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2. \end{aligned}

Passo 4

Agora o polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\bigl(-\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2\bigr).
Multiplicando e colocando em forma padrão:
\begin{aligned} (1-\lambda)(-\,\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2) &= -\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2 + \lambda^4+2\lambda^3-\lambda^2-2\lambda\\\ &= \lambda^4+\lambda^3-3\lambda^2-\lambda+2. \end{aligned}

Resposta

A equação característica é
\lambda^4 + \lambda^3 - 3\lambda^2 - \lambda + 2 = 0.

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