Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. \left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede a equação característica da matriz A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. O conteúdo é polinômio característico, que se obtém de \det(A - \lambda I). Vamos usar que, por ser triangular por blocos, o determinante se separa em produto de determinantes de cada bloco. Passo 2Observamos que A-\lambda I = \begin{pmatrix} B-\lambda I_3 & 0\\\\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}, onde B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}. Logo \det(A-\lambda I) = \det(B-\lambda I_3)\,\det(1-\lambda) = (1-\lambda)\,\det(B-\lambda I_3). Passo 3Calculamos \det(B-\lambda I_3) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 2\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & -2-\lambda \end{pmatrix}. Expandindo pela primeira linha: \begin{aligned} \det(B-\lambda I_3) &= -\lambda\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & -2-\lambda\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1 & -\lambda\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\\\ &= -\lambda\bigl((-\lambda)(-2-\lambda)-1\cdot1\bigr)+2\cdot1\\\ &= -\lambda\bigl(\lambda^2+2\lambda-1\bigr)+2\\\ &= -\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2. \end{aligned} Passo 4Agora o polinômio característico é \det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\bigl(-\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2\bigr). Multiplicando e colocando em forma padrão: \begin{aligned} (1-\lambda)(-\,\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2) &= -\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2 + \lambda^4+2\lambda^3-\lambda^2-2\lambda\\\ &= \lambda^4+\lambda^3-3\lambda^2-\lambda+2. \end{aligned} RespostaA equação característica é \lambda^4 + \lambda^3 - 3\lambda^2 - \lambda + 2 = 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEm cada parte, encontre a equação característica da matriz. \left[\begin{array}{rrr}5 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & -8 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right] Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir): d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo. f(x)=x^{3}-3 x \quad g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3} \\\ h(x)=\frac{1}{1-x^{2}} \quad p(x)=e^{1-x^{2}} 4^{\mathrm{a}}. (4 escores) Enunciar e resolver um problema associado a TAXAS RELACIONADAS. 5^{\mathrm{a}}. (4 escores) Enunciar e resolver um problema associado a PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO.