Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
c) Intervalos de crescimento ou decrescimento;
f(x)=x^{3}-3 x \quad g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3} \\\ h(x)=\frac{1}{1-x^{2}} \quad p(x)=e^{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço dos gráficos de quatro funções e, em particular, que aponte os intervalos em que cada função é crescente ou decrescente. Vamos usar cálculo de derivada para determinar os pontos críticos e analisar o sinal de cada derivada.

Passo 2

Considere f(x)=x^{3}-3x.
A derivada é
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)\,.
Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, ou seja x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm1.
Agora analisamos o sinal de f'(x):
– Para \,x<-1, tem x^{2}>1\Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
– Para -1<x<1, tem x^{2}<1\Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
– Para x>1, tem x^{2}>1\Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
No esboço vemos um ponto de máximo local em x=-1 e mínimo local em x=1.

Passo 3

Considere g(x)=12-3x^{2}-2x^{3}.
A derivada é
g'(x)=-6x-6x^{2}=-6x(1+x)\,.
Os pontos críticos são x=0 e x=-1.
Sinal de g'(x):
– Para x<-1, x(1+x)>0\Rightarrow g'(x)<0 (decrescente).
– Para -1<x<0, x(1+x)<0\Rightarrow g'(x)>0 (crescente).
– Para x>0, x(1+x)>0\Rightarrow g'(x)<0 (decrescente).
No esboço temos um mínimo local em x=-1 e um máximo local em x=0.

Passo 4

Considere h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}.
O domínio é \R\setminus\{\pm1\}.
A derivada é
h'(x)=\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}\,.
Como (1-x^{2})^{2}>0 para todo x\neq\pm1, o sinal de h'(x) é o mesmo de x:
– Para x<0, h'(x)<0 (decrescente).
– Para x>0, h'(x)>0 (crescente).
No esboço aparecem assíntotas verticais em x=\pm1 e assíntota horizontal em y=0.

Passo 5

Considere p(x)=e^{\,1-x^{2}}.
A derivada é
p'(x)=e^{1-x^{2}}\cdot(-2x)\,.
Como e^{1-x^{2}}>0 sempre, o sinal de p'(x) vem de -2x:
– Para x<0, -2x>0\Rightarrow p'(x)>0 (crescente).
– Para x>0, -2x<0\Rightarrow p'(x)<0 (decrescente).
No esboço surge um único máximo em x=0.

Resposta

f(x)=x^{3}-3x: crescente em (-\infty,-1)\cup(1,\infty), decrescente em (-1,1).
g(x)=12-3x^{2}-2x^{3}: crescente em (-1,0), decrescente em (-\infty,-1)\cup(0,\infty).
h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}: decrescente em (-\infty,0) (isto é em (-\infty,-1)\cup(-1,0)), crescente em (0,\infty) (isto é em (0,1)\cup(1,\infty)).
p(x)=e^{\,1-x^{2}}: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty).

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