4^{\mathrm{a}}. (4 escores) Enunciar e resolver um problema associado a TAXAS RELACIONADAS.

Passo 1

Enunciado do problema: Uma escada rígida de comprimento 10\,\mathrm{m} está apoiada contra uma parede vertical. O pé da escada afasta-se da parede numa reta sobre o chão a uma taxa de 2\,\mathrm{m/s}. Desejamos saber a que velocidade o topo da escada desce no instante em que o pé está a 6\,\mathrm{m} de distância da parede. O conteúdo necessário é taxas relacionadas e diferenciação implícita.

Passo 2

Definimos x(t) como a distância do pé da escada ao pé da parede e y(t) como a altura do topo da escada em relação ao chão. Como o comprimento da escada é constante igual a 10, vale a relação geométrica
x^2 + y^2 = 10^2.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0.
Isolando \tfrac{dy}{dt}, vem
\frac{dy}{dt} = -\,\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 4

No instante considerado temos x=6 e \tfrac{dx}{dt}=2. A altura y satisfaz
y = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.
Substituindo em \tfrac{dy}{dt} = -\tfrac{x}{y}\,\tfrac{dx}{dt}, achamos
\frac{dy}{dt} = -\frac{6}{8}\cdot 2 = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}.
Isto significa que o topo da escada desce a 1{,}5\,\mathrm{m/s}.

Resposta

\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{2}\,\mathrm{m/s}.

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