Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=x^{3}-3 x \quad g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3} \\\ h(x)=\frac{1}{1-x^{2}} \quad p(x)=e^{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de cada função e, em particular, indicarmos onde cada uma é côncava para cima (isto é, f''>0) ou para baixo (isto é, f''<0). Vamos usar cálculo de derivadas segunda e analisar o sinal de f''(x) em cada caso.

Passo 2

Para f(x)=x^3-3x temos
f'(x)=3x^2-3
f''(x)=6x.
Logo:
  • f''(x)>0 para x>0 \Rightarrow concavidade voltada para cima em (0,\infty).
  • f''(x)<0 para x<0 \Rightarrow concavidade voltada para baixo em (-\infty,0).
    Há ponto de inflexão em x=0. O gráfico é o de um cubo padrão com mínimos locais em x=-1 e máximos locais em x=1.

Passo 3

Para g(x)=12-3x^2-2x^3 calculamos
g'(x)=-6x-6x^2,
g''(x)=-6-12x=-6(1+2x).
Logo:
  • g''(x)>0 se 1+2x<0, isto é, x<-\tfrac12 \Rightarrow concavidade para cima em (-\infty,-\tfrac12).
  • g''(x)<0 se x>-\tfrac12 \Rightarrow concavidade para baixo em (-\tfrac12,\infty).
    Ponto de inflexão em x=-\tfrac12. O gráfico é um cúbico decrescente (coeficiente líder -2) com essa inflexão.

Passo 4

Para h(x)=\dfrac1{1-x^2} escrevemos
h(x)=(1-x^2)^{-1},\quad h'(x)=2x(1-x^2)^{-2},
h''(x)=\frac{2+6x^2}{(1-x^2)^3}.
Como 2+6x^2>0 sempre, o sinal de h''(x) vem de (1-x^2)^3:
  • h''(x)>0 para |x|<1 \Rightarrow concavidade para cima em (-1,1).
  • h''(x)<0 para |x|>1 \Rightarrow concavidade para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
    Há assíntotas verticais em x=\pm1 e ponto de inflexão atravessando cada assíntota.

Passo 5

Para p(x)=e^{1-x^2} temos
p'(x)=-2x\,e^{1-x^2},\quad p''(x)=2e^{1-x^2}(2x^2-1).
Logo:
  • p''(x)>0 se 2x^2-1>0, isto é, |x|>\tfrac1{\sqrt2} \Rightarrow concavidade para cima em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt2})\cup(\tfrac1{\sqrt2},\infty).
  • p''(x)<0 se |x|<\tfrac1{\sqrt2} \Rightarrow concavidade para baixo em (-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}).
    Há pontos de inflexão em x=\pm\tfrac1{\sqrt2} e o gráfico é a “campânula” típica.

Resposta

f(x): concava para cima em (0,\infty), para baixo em (-\infty,0).
g(x): concava para cima em (-\infty,-\tfrac12), para baixo em (-\tfrac12,\infty).
h(x): concava para cima em (-1,1), para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
p(x): concava para cima em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt2})\cup(\tfrac1{\sqrt2},\infty), para baixo em (-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}).

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