Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
d) Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de cada função e, em particular, indicarmos onde cada uma é côncava para cima (isto é,
) ou para baixo (isto é,
). Vamos usar cálculo de derivadas segunda e analisar o sinal de
em cada caso.
Passo 2
Para
temos
Logo:
-
para concavidade voltada para cima em . -
para concavidade voltada para baixo em .
Há ponto de inflexão em. O gráfico é o de um cubo padrão com mínimos locais em e máximos locais em .
Passo 3
Para
calculamos
Logo:
-
se , isto é, concavidade para cima em . -
se concavidade para baixo em .
Ponto de inflexão em. O gráfico é um cúbico decrescente (coeficiente líder ) com essa inflexão.
Passo 4
Para
escrevemos
Como
sempre, o sinal de
vem de
:
-
para concavidade para cima em . -
para concavidade para baixo em .
Há assíntotas verticais eme ponto de inflexão atravessando cada assíntota.
Passo 5
Para
temos
Logo:
-
se , isto é, concavidade para cima em . -
se concavidade para baixo em .
Há pontos de inflexão eme o gráfico é a “campânula” típica.
Resposta
f(x): concava para cima em
, para baixo em
.
g(x): concava para cima em , para baixo em
.
h(x): concava para cima em , para baixo em
.
p(x): concava para cima em , para baixo em
.
g(x): concava para cima em
h(x): concava para cima em
p(x): concava para cima em