5^{\mathrm{a}}. (4 escores) Enunciar e resolver um problema associado a PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO.
Passo 1
O enunciado pede um problema de otimização com restrição: “Um fabricante quer construir uma caixa sem tampa, de base quadrada, com volume fixo V>0. Quais devem ser as dimensões da base e da altura para que a área de material utilizada seja mínima?” Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.
Passo 2
Definimos como variáveis x>0 a aresta da base (quadrada) e y>0 a altura.
A área de superfície (função objetivo) é
Para confirmar que esse ponto é mínimo, basta notar que a área A(x,y) cresce rápido quando x ou y se afastam dessas razões, ou alternativamente estudar a derivada segunda de A(x) após usar y=V/x^2. O resultado mostra mínimo global em x=\sqrt[3]{2V}, y=\sqrt[3]{V/4}.
Resposta
As dimensões que minimizam a área são:
– aresta da base x=\sqrt[3]{2V},
– altura y=\sqrt[3]{\tfrac{V}{4}}.