5^{\mathrm{a}}. (4 escores) Enunciar e resolver um problema associado a PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO.

Passo 1

O enunciado pede um problema de otimização com restrição: “Um fabricante quer construir uma caixa sem tampa, de base quadrada, com volume fixo V>0. Quais devem ser as dimensões da base e da altura para que a área de material utilizada seja mínima?” Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

Definimos como variáveis x>0 a aresta da base (quadrada) e y>0 a altura.
A área de superfície (função objetivo) é
A(x,y)=\underbrace{x^2}_{\text{base}}+\underbrace{4xy}_{\text{lados}},
e a restrição de volume é
g(x,y)=x^2y - V = 0.

Passo 3

Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=A(x,y)-\lambda\bigl(x^2y - V\bigr) =x^2+4xy - \lambda(x^2y - V).
As condições de otimalidade (gradiente nulo) são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2x +4y - \lambda\,(2xy)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=4x - \lambda\,x^2=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^2y - V)=0.

Passo 4

Da segunda equação, se x>0, temos
4x = \lambda x^2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{4}{x}.
Substituindo em \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0:
2x +4y - \frac{4}{x}\,(2xy)=0 \;\Longrightarrow\; 2x +4y - \frac{8xy}{x}=2x+4y-8y=0 \;\Longrightarrow\; 2x -4y=0 \;\Longrightarrow\; y=\frac{x}{2}.
Finalmente, da restrição x^2y=V:
x^2\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)=V \;\Longrightarrow\; \frac{x^3}{2}=V \;\Longrightarrow\; x=\sqrt[3]{2V},
y=\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{2V}=\sqrt[3]{\frac{V}{4}}.

Passo 5

Para confirmar que esse ponto é mínimo, basta notar que a área A(x,y) cresce rápido quando x ou y se afastam dessas razões, ou alternativamente estudar a derivada segunda de A(x) após usar y=V/x^2. O resultado mostra mínimo global em x=\sqrt[3]{2V}, y=\sqrt[3]{V/4}.

Resposta

As dimensões que minimizam a área são:
– aresta da base x=\sqrt[3]{2V},
– altura y=\sqrt[3]{\tfrac{V}{4}}.

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