Em cada parte, encontre a equação característica da matriz.
\left[\begin{array}{rrrr}10 & -9 & 0 & 0 \\\\ 4 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & -7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a equação característica da matriz
A=\begin{pmatrix} 10 & -9 & 0 & 0\\\\ 4 & -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & -7\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
O conteúdo é o polinômio característico, definido por \det(A-\lambda I)=0. Vamos aproveitar que A é blocos-diagonal para fatorar esse determinante em dois blocos 2\times2.

Passo 2

Separe os blocos:
A_{1}=\begin{pmatrix}10 & -9\\\ 4 & -2\end{pmatrix}, \quad A_{2}=\begin{pmatrix}-2 & -7\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Como A é blocos-diagonal,
\det(A-\lambda I) =\det(\lambda I_{2}-A_{1})\;\cdot\;\det(\lambda I_{2}-A_{2}).

Passo 3

Calcule \det(\lambda I_{2}-A_{1}):
\lambda I_{2}-A_{1} =\begin{pmatrix}\lambda-10 & +9\\\ -4 & \lambda+2\end{pmatrix},
\det(\lambda I_{2}-A_{1}) =(\lambda-10)(\lambda+2)-\bigl(9\cdot(-4)\bigr) =\lambda^2-8\lambda-20+36 =\lambda^2-8\lambda+16 =(\lambda-4)^2.

Passo 4

Calcule \det(\lambda I_{2}-A_{2}):
\lambda I_{2}-A_{2} =\begin{pmatrix}\lambda+2 & +7\\\ -1 & \lambda-2\end{pmatrix},
\det(\lambda I_{2}-A_{2}) =(\lambda+2)(\lambda-2)-\bigl(7\cdot(-1)\bigr) =\lambda^2-4+7 =\lambda^2+3.

Passo 5

Multiplicando os fatores, obtemos
\det(A-\lambda I) =(\lambda-4)^2\,(\lambda^2+3).
Se quiser expandir:
(\lambda-4)^2(\lambda^2+3) =\lambda^4-8\lambda^3+19\lambda^2-24\lambda+48.

Resposta

A equação característica é
(\lambda-4)^2\,(\lambda^2+3)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^4-8\lambda^3+19\lambda^2-24\lambda+48=0.

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