Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. \left[\begin{array}{rrrr}10 & -9 & 0 & 0 \\\\ 4 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & -7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede a equação característica da matriz A=\begin{pmatrix} 10 & -9 & 0 & 0\\\\ 4 & -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & -7\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} O conteúdo é o polinômio característico, definido por \det(A-\lambda I)=0. Vamos aproveitar que A é blocos-diagonal para fatorar esse determinante em dois blocos 2\times2. Passo 2Separe os blocos: A_{1}=\begin{pmatrix}10 & -9\\\ 4 & -2\end{pmatrix}, \quad A_{2}=\begin{pmatrix}-2 & -7\\\ 1 & 2\end{pmatrix}. Como A é blocos-diagonal, \det(A-\lambda I) =\det(\lambda I_{2}-A_{1})\;\cdot\;\det(\lambda I_{2}-A_{2}). Passo 3Calcule \det(\lambda I_{2}-A_{1}): \lambda I_{2}-A_{1} =\begin{pmatrix}\lambda-10 & +9\\\ -4 & \lambda+2\end{pmatrix}, \det(\lambda I_{2}-A_{1}) =(\lambda-10)(\lambda+2)-\bigl(9\cdot(-4)\bigr) =\lambda^2-8\lambda-20+36 =\lambda^2-8\lambda+16 =(\lambda-4)^2. Passo 4Calcule \det(\lambda I_{2}-A_{2}): \lambda I_{2}-A_{2} =\begin{pmatrix}\lambda+2 & +7\\\ -1 & \lambda-2\end{pmatrix}, \det(\lambda I_{2}-A_{2}) =(\lambda+2)(\lambda-2)-\bigl(7\cdot(-1)\bigr) =\lambda^2-4+7 =\lambda^2+3. Passo 5Multiplicando os fatores, obtemos \det(A-\lambda I) =(\lambda-4)^2\,(\lambda^2+3). Se quiser expandir: (\lambda-4)^2(\lambda^2+3) =\lambda^4-8\lambda^3+19\lambda^2-24\lambda+48. RespostaA equação característica é (\lambda-4)^2\,(\lambda^2+3)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^4-8\lambda^3+19\lambda^2-24\lambda+48=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUse o Teorema de Stokes para calcular ∬_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{x y} \mathbf{i}+e^{x z} \mathbf{j}+x^{2} z \mathbf{k}, S é a metade do elipsoide Questão 4. Considere o campo vetorial \vec{F}=\left(3 y z^{2}+z+1\right) \vec{i}+3 x z^{2} \vec{j}+(6 x y z+x) \vec{k} e a curva C dada por \vec{r}(t)=\exp (t-1) \vec{i}+\left(t^{2}+2 t\right) \vec{j}+t^{4} \vec{k}, 0 \leq t \leq 1. (a)(0.5pt) Mostre que \vec{F} é irrotacional. (b)(0.5pt) Obtenha o potencial de \vec{F}, isto é, o campo escalar \varphi tal que \vec{F}=\vec{\nabla} \varphi ou justifique que não existe. (c)(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}. Determine as frequências de ressonância ω_{s} e f_{s} de um circuito em série com os seguintes parâmetros: R=300 \Omega, L=0,51 \mathrm{H}, C=0,16 \mu \mathrm{~F} Considere a funçāo f(x)=\ln (|x|). Em cada item, faça o que se pede. a) Mostre que f(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1} para os valores nos quais a série converge; Sugestão: Note que \frac{1}{x}=\frac{1}{1+x-1}. b) Determine o raio e o intervalo de convergencia da séric obtida no item a ); c) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}. Justifique sua resposta. \square