Use o Teorema de Stokes para calcular ∬_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}.
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{x y} \mathbf{i}+e^{x z} \mathbf{j}+x^{2} z \mathbf{k}, S é a metade do elipsoide

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes de modo a transformar
\displaystyle \iint_{S}\bigl(\operatorname{curl}\mathbf{F}\bigr)\cdot d\mathbf{S}
numa integral de linha ao longo da fronteira \partial S. Aqui
\mathbf{F}(x,y,z)=e^{xy}\,\mathbf{i}+e^{xz}\,\mathbf{j}+x^{2}z\,\mathbf{k}
e S é “a metade do elipsoide”.

Passo 2

Para aplicar Stokes precisamos conhecer explicitamente:
  1. A equação completa do elipsoide.
  2. Qual “metade” (por exemplo, z\ge0 ou x\ge0, etc.).
  3. A curva de contorno \partial S e sua orientação.
Sem essas informações não há como determinar \partial S nem parametrizá-la, o que torna impossível transformar a integral de superfície numa integral de linha.

Resposta

Não é possível calcular \displaystyle \iint_{S}(\operatorname{curl}\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} sem a descrição completa de S (qual metade, equação do elipsoide e sua fronteira).

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